线性代数 欧式空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-5-9
线性代数 欧式空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-5-9
向量的内积 定义:设有n维向量x=2 :/,≤ 令 x以=x1五+x2巧 则称(x,y为向量x和y的内积 说明 内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数 内积可用矩阵乘法表示:当x和y都是列向量时, (x, y 十 X
向量的内积 定义：设有n 维向量 令 (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn ， 1 1 2 2 , , n n x y x y x y x y = = M M 1 1 2 2 n n 则称 (x, y) 为向量 x 和 y 的内积． 说明： • 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． • 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．
向量的内积 定义:设有n维向量x=2 :/,≤ 令 y1+x2,y2+… x y 则称(x,y为向量x和y的内积
定义：设有 n 维向量 令 1 1 2 2 [ , ] n n x y = + + + x y x y x y L 向量的内积 1 1 2 2 , , n n x y x y x y x y = = M M 则称 (x, y) 为向量 x 和 y 的内积． 1 1 2 2 n n ( ) 1 2 1 2 , , , n n y y x x x y = L M T = x y
(x,=x1+x巧+… 内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,λ为实数) 对称性:(x,功=(,x 线性性质:(x,y=A(x, (x+y,动=(x,+(y,团 当ⅹ=0(零向量)时,(x,x)=0 当X≠0(零向量)时,(x,x>0 Cauchy- Schwarz不等式
(x, y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，λ 为实数）： 对称性： (x, y) = (y, x)． 线性性质： (λ x, y) = λ(x, y)． (x + y, z) = (x, z) + (y, z) 当 x = 0（零向量） 时， (x, x) = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， (x, x) > 0． Cauchy-Schwarz不等式 (x, y)2 ≤ (x, x) (y, y)．
(x,=x1+x巧+… 内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,λ为实数): ●对称性:(x,球=(y,x Ix,y=x,y,+x2y2+.+xn,y
1 1 2 2 1 1 2 2 [ , ] n n n n x y x y x y x y y x y x y x = + + + = + + + L L (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，λ 为实数）： 对称性： (x, y) = (y, x)． 1 1 2 2 [ , ] n n y x y x y x y x = + + + = L