第二讲补充题解答 (1)设矩阵 2-20 1-10 A 求A2-4B2-2BA+2AB 解: 原式=(A2-2BA)+(2AB-4B2)=(A-2B)A+2(A-2B)B=(A-2B)(A+2B) 000 4-40 000 8-44000 36-124 111 151 1,b=「bb2…bn17,计算A=ab3,B=b3a及A 解: a1b1 a1b2 b a2b1 a2b2 a2b ab= B=ba=b1 b2 1b1 alby agb1 a2b2 a2b k= abTabT.abT 4)“/ (3)设矩阵 A 2-24 求A(n为正整数) 解:因 所以 1 (4)设A2=A,B2=B,(A+B)2=A+B,证明:AB=0
第二讲补充题解答 (1) 设矩阵 A = 2 −2 0 4 −2 2 1 3 1 , B = 1 −1 0 −2 1 −1 0 1 0 求A2 − 4B2 − 2BA + 2AB. 解: 原式 = A2 − 2BA + 2AB − 4B2 = (A − 2B) A + 2 (A − 2B) B = (A − 2B) (A + 2B) = 0 0 0 8 −4 4 1 1 1 4 −4 0 0 0 0 1 5 1 = 0 0 0 36 −12 4 5 1 1 (2) 设 a = h a1 a2 · · · an iT , b = h b1 b2 · · · bn iT , 计算 A = abT , B = b T a 及 Ak . 解: A = abT = a1 a2 . . . an h b1 b2 · · · bn i = a1b1 a1b2 · · · a1bn a2b1 a2b2 · · · a2bn . . . . . . . . . anb1 anb2 · · · anbn B = b T a = h b1 b2 · · · bn i a1 a2 . . . an = Xn i=1 aibi Ak = abT abT · · · abT = b T a k−1 abT = nX−1 i=1 aibi !k−1 a1b1 a1b2 · · · a1bn a2b1 a2b2 · · · a2bn . . . . . . . . . anb1 anb2 · · · anbn (3) 设矩阵 A = 1 −1 2 2 −2 4 −1 1 −2 求An (n为正整数). 解: 因 A = 1 2 −1 h 1 −1 2 i , 所以, An = h 1 −1 2 i 1 2 −1 n−1 A = (−3)n−1 A (4) 设 A2 = A, B2 = B, (A + B) 2 = A + B, 证明: AB = 0
证:因(A+B)2=A2+AB+BA+B2=A+AB+BA+B=A+B,得 AB+BA=0 对式(1)两端右乘矩阵B,得 AB2+BAB=0→AB=-BAB 同样式(1)两端左乘矩阵B,得 BAB+B2A=0→BA=-BAB 因此,AB=BA=0 (5)设A实对称矩阵,即A=A,且A2=0,证明:A=0. 证:设A为n阶实对称方阵,考察A2=A7A的对角元a2 aiai a2=0.i=1.2 0,(i=1,2,…,j=1,2,…,n) 因此,A=0 (6)设矩阵A=[ aidl,若对任意n×1向量x,均有Ax=0,试证:A=0 证:依次取ⅹ=e1,e2,.,em,因Ax=0,所以 Aer 0,(i=1,2 an2 0→ 因此A=0 矩阵A=3I-aaT (a)求矩阵A; (b)A是否可逆?若可逆,求A
证: 因 (A + B) 2 = A2 + AB + BA + B2 = A + AB + BA + B = A + B, 得 AB + BA = 0 (1) 对式(1)两端右乘矩阵 B, 得 AB2 + BAB = 0 ⇒ AB = −BAB 同样式(1)两端左乘矩阵 B, 得 BAB + B 2A = 0 ⇒ BA = −BAB 因此, AB = BA = 0. (5) 设A 实对称矩阵, 即 AT = A, 且A2 = 0, 证明: A = 0. 证: 设 A 为 n 阶实对称方阵, 考察 A2 = AT A 的对角元 a (2) ii , a (2) ii = Xn j=1 aijaij = Xn j=1 a 2 ij = 0, i = 1, 2, . . . , n ⇒ aij = 0, (i = 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . . , n) 因此, A = 0. (6) 设矩阵 A = [aij ]m×n , 若对任意 n × 1向量x, 均有 Ax = 0, 试证: A = 0. 证: 依次取 x = e1, e2, . . . , en, 因 Ax = 0, 所以 Ae1 = a11 a21 . . . am1 = 0 ⇒ ai1 = 0, (i = 1, 2, . . . , m) Ae2 = a12 a22 . . . am2 = 0 ⇒ ai2 = 0, (i = 1, 2, . . . , m) . . . Aen = a1n a2n . . . amn = 0 ⇒ ain = 0, (i = 1, 2, . . . , m) 因此 A = 0. (7) 设 a = h −1 0 1 iT , 矩阵 A = 3I − aaT . (a) 求矩阵A; (b) A 是否可逆? 若可逆, 求A−1
000,所以 101 a=3I-aa 030 102 (b)因det(A)=9≠0,所以A可逆.A-1的计算如下: 201100 E 030010 05+B-B101/21/200 030 010 003/2-1/201 (1/3)*R2,(2/3)*R3, 101/21/200 01/30 001-1/302/3 (R1-(1/2)*F 1002/30-1/3 01/3 001-1/302/3 8)设AB是n×n矩阵,且A,B和A+B均可逆,证明:A-1+B-1也可逆,并求(A-1+B-1)”的 表达式 证:因A-1+B-1=A-1(A+B)B-1,且A,B,A+B均可逆,则有 A-1+B B(A+B)A (9)设n阶方阵A满足A3=2I(是单位阵),矩阵B=A2+2A+I,试证:B可逆,并求B-1的表达 式 证:BA2=(A2+2A+1A2=A4+2A3+A2,因A3=2L,所以 BA2=2A+4I+A2=B+3I →BA2-B=→B3(A2-I 因此B可逆,且 B 3 (10)设A是n阶方阵,且Ak=0(k≥2,求(I-A)-1
解: (a) aaT = −1 0 1 h −1 0 1 i = 1 0 −1 0 0 0 −1 0 1 , 所以 A = 3I − aaT = 2 0 1 0 3 0 1 0 2 (b) 因 det (A) = 9 6= 0, 所以 A 可逆. A−1 的计算如下: h A E i = 2 0 1 1 0 0 0 3 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 0.5∗R1,R3−R1 −−−−−−−−−→ 1 0 1/2 1/2 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 3/2 −1/2 0 1 (1/3)∗R2,(2/3)∗R3, −−−−−−−−−−−−→ 1 0 1/2 1/2 0 0 0 1 0 0 1/3 0 0 0 1 −1/3 0 2/3 (R1−(1/2)∗R3, −−−−−−−−−→ 1 0 0 2/3 0 −1/3 0 1 0 0 1/3 0 0 0 1 −1/3 0 2/3 A−1 = 1 3 2 0 −1 0 1 0 −1 0 2 (8) 设 A,B 是n×n矩阵, 且A, B 和A+B 均可逆, 证明: A−1+B−1 也可逆, 并求 A−1 + B−1 −1的 表达式. 证: 因 A−1 + B−1 = A−1 (A + B) B−1 , 且 A, B, A + B 均可逆, 则有 A−1 + B −1 −1 = B (A + B) −1 A (9) 设 n阶方阵A满足A3 = 2I(I是单位阵), 矩阵 B = A2 + 2A + I, 试证: B可逆, 并求B−1的表达 式. 证: BA2 = A2 + 2A + I A2 = A4 + 2A3 + A2 , 因 A3 = 2I, 所以 BA2 = 2A + 4I + A2 = B + 3I ⇒ BA2 − B = 3I ⇒ B 1 3 A2 − I = I 因此 B 可逆, 且 B −1 = 1 3 A2 − I (10) 设 A 是 n 阶方阵, 且 Ak = 0(k ≥ 2), 求 (I − A) −1
解:因 1-A)(I+A+A2+…+A4-) =I+A+A2+…+Ak-1 A+A2 I-Ak=I 所以,(I-A)-1=I+A+A2+…+Ak-1 (11)设n阶方阵A,B满足A+B=AB (a)证明:A-I可逆 (b)证明:AB=BA 120 (c)若B=340,求A 证:(a)因0=AB-B-A,等式两端同时加上单位阵I得 I=I-A-(I-AB=(I-A)(I-B=(A-I)(B-I 因此A-I可逆,且(A-D)-1=B-I (b)由等式A+B=AB可得A=(A-I)B,同时对等式A+B=AB两边右乘矩阵A, 得 A2+BA=ABA →BA=ABA-A2=A(B-IA →BA=A(B-D(A-1B=AB c)因A-I=(B-D)-,先求(B-I)-1 B-II 030 0043 001 21 0 0101/200 0010 /21/3 A=B-1+I /2 00/ (12)设a是n×1向量,设A=I-aa,证明 (a)A2=A当且仅当aa=1 (b)当aa=1时,A是不可逆矩阵
解: 因 (I − A) I + A + A2 + · · · + Ak−1 = I +A + A2 + · · · + Ak−1 −A + A2 − · · · − Ak−1 − Ak = I − Ak = I 所以, (I − A) −1 = I + A + A2 + · · · + Ak−1 . (11) 设 n阶方阵A, B 满足 A + B = AB. (a) 证明: A − I 可逆. (b) 证明: AB = BA. (c) 若 B = 1 2 0 3 4 0 0 0 5 , 求A. 证: (a) 因 0 = AB − B − A, 等式两端同时加上单位阵 I 得: I = I − A − (I − A) B = (I − A) (I − B) = (A − I) (B − I) 因此 A − I 可逆, 且 (A − I) −1 = B − I. (b) 由等式 A + B = AB 可得 A = (A − I) B, 同时对等式 A + B = AB 两边右乘矩阵 A, 得 A2 + BA = ABA ⇒ BA = ABA − A2 = A (B − I) A ⇒ BA = A (B − I) (A − I) B = AB (c) 因 A − I = (B − I) −1 , 先求 (B − I) −1 : h B − I I i = 0 2 0 1 0 0 3 3 0 0 1 0 0 0 4 0 0 1 → 1 0 0 −1/2 1/3 0 0 1 0 1/2 0 0 0 0 1 0 0 1/4 A = (B − I) −1 + I = 1/2 1/3 0 1/2 1 0 0 0 5/4 (12) 设 a 是 n × 1向量, 设 A = I − aaT , 证明: (a) A2 = A 当且仅当 a T a = 1. (b) 当 a T a = 1 时, A 是不可逆矩阵
证(必要性,A2=1-2n2+(ana)a=A=Ia,所以 aa 0 又因a≠0→aa-1=0→a7a=1 充分性”,因a7a=1,所以 A2=(1-an)(I-an) A (b)(反证法),假设A可逆,它的逆阵记为A-1 另外,当aa=1时,有A2=A,所以 但当a≠0时,A≠I,所以与前提矛盾 (13)设矩阵 22-1 求矩阵X,使得AX=A+X 解:根据条件可得(A-1X=A 2-1 00 102 100 10 1-12 因det(A)=-1≠0,所以A-I可逆,并求得 147-3 (A-I 531 求得 545 (14)设矩阵 10 110 矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+I,求X
证: (a)“必要性”, A2 = I − 2aaT + a T a aaT = A = I − aaT , 所以, a T a − 1 aaT = 0 又因a 6= 0 ⇒ a T a − 1 = 0 ⇒ a T a = 1 “充分性”, 因 a T a = 1, 所以 A2 = I − aaT I − aaT = I − 2aaT + aaT = A (b) (反证法), 假设 A 可逆, 它的逆阵记为 A−1 . 另外, 当 a T a = 1 时, 有 A2 = A, 所以 I = A−1A = A−1A2 = A 但当 a 6= 0 时, A 6= I, 所以与前提矛盾. (13) 设矩阵 A = 2 2 −1 −1 0 2 2 7 1 求矩阵 X, 使得 AX = A + X. 解: 根据条件可得 (A − I) X = A, A − I = 2 2 −1 −1 0 2 2 7 1 − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1 2 −1 −1 −1 2 2 7 0 因 det (A) = −1 6= 0, 所以 A − I 可逆, 并求得 (A − I) −1 = 14 7 −3 −4 −2 1 5 3 1 求得 X = (A − I) −1 A = 15 7 −3 −4 −1 1 5 3 0 (14) 设矩阵 A = 1 0 0 1 1 0 1 1 1 , B = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 矩阵 X 满足 AXA + BXB = AXB + BXA + I, 求X