第五讲习题解答(讲义) 1.判断下列各变换是否是线性变换 解:()是,对21,2∈R和c∈R,有 x1+x2+k(y+y2) y1+y2 x1+91+ k(cy1 (b).不是,对wx,y∈V,有 o(x+y=afa+a=o(x)+o(y (c).是,对vf1(x),f2(x)∈F[]h和vc∈F,有 a(f1(x)+f2(x)=f1(x+1)+f2(x+1)=a(f1(x)+a(f2(x) o(efi(a))=cfi(a+1)=co(i(a)) (d).是,对vf1(x),f2(x)∈F[x]l和ve∈F,有 a(f1(x)+f2(x)=f1(x0)+f2(xo)=a(f1(x))+a(f2(x) o(efi(a))=cfi()= co(i(r)) (e).是,对vf1(x),f2(x)∈F[xln和c∈F,有 a(f(x)+f2(x)=(x+a)x(f1(x)+f2(x) =(x+a)(x)+(x+a)元2(x)=(1(x)+a(2(x) d o(cfi()=(+a(cfi())=co(i(a) (f).是,对ⅤX,Y∈F"xn和Vc∈F,有 o(X+Y)=B(X+Y)C=BXC+BYC=0(X)+o(Y) o(cX)=b(eX)C= co(x) (g).是,对vf1(t),2(t)∈C0,2]和vc∈R,有 a(f1(t)+f2(t) f1(x)+f2(x)]sin(t-x)dx=a(f1(t)+a(2(t) a(cfi(t)=/cf(z) in(t-rdr=co(f(t) (h.是.(证明略)
第五讲习题解答(讲义) 1. 判断下列各变换是否是线性变换. 解: (a). 是, 对∀ " x1 y1 # , " x2 y2 # ∈ R 2 和 c ∈ R, 有 σ " x1 y1 # + " x2 y2 #! = σ " x1 + x2 y1 + y2 #! = " x1 + x2 + k(y1 + y2) y1 + y2 # = " x1 + ky1 y1 # + " x2 + ky2 y2 # = σ " x1 y1 #! + σ " x2 y2 #! σ c " x1 y1 #! = σ " cx1 cy1 #! = " cx1 + k(cy1) cy1 # = c " x1 + ky1 y1 # = cσ " x1 y1 #! (b). 不是, 对 ∀x, y ∈ V , 有 σ (x + y) = a 6= a + a = σ (x) + σ (y) (c). 是, 对 ∀f1(x), f2(x) ∈ F[x]n 和 ∀c ∈ F, 有 σ (f1(x) + f2(x)) = f1(x + 1) + f2(x + 1) = σ (f1(x)) + σ (f2(x)) σ (cf1(x)) = cf1(x + 1) = cσ (f1(x)) (d). 是, 对 ∀f1(x), f2(x) ∈ F[x]n 和 ∀c ∈ F, 有 σ (f1(x) + f2(x)) = f1(x0) + f2(x0) = σ (f1(x)) + σ (f2(x)) σ (cf1(x)) = cf1(x0) = cσ (f1(x)) (e). 是, 对 ∀f1(x), f2(x) ∈ F[x]n 和 ∀c ∈ F, 有 σ (f1(x) + f2(x)) = (x + a) d dx (f1(x) + f2(x)) = (x + a) d dxf1(x) + (x + a) d dxf2(x) = σ (f1(x)) + σ (f2(x)) σ (cf1(x)) = (x + a) d dx (cf1(x)) = cσ (f1(x)) (f). 是, 对 ∀X, Y ∈ F n×n 和 ∀c ∈ F, 有 σ (X + Y) = B (X + Y) C = BXC + BYC = σ (X) + σ (Y) σ (cX) = B (cX) C = cσ (X) (g). 是, 对 ∀f1(t), f2(t) ∈ C [0, 2π] 和 ∀c ∈ R, 有 σ (f1(t) + f2(t)) = Z 2π 0 [f1(x) + f2(x)] sin (t − x) dx = σ (f1(t)) + σ (f2(t)) σ (cf1(t)) = Z 2π 0 cf1(x) sin (t − x) dx = cσ (f1(t)) (h). 是. (证明略)
2.证:对x,y∈Rn和c∈R,有 o(x+y)=(x+y, a)a 内 积的线性性 (x, a)a+(y, a)a=o(x)+o(y) 0(x)=(x,a)a内积的齐次性 c(x, a)a=co(x) 因此,σ是线性变换 3.证:对vf(x),f2(x)∈Ca,列和Ⅴc∈R,有 d(1(m)+2(x)=/1(t)+f2()dt=/(t)d+f2(t)t=a(1(x)+a(2(x) a(cfi(=))=/cfi(t)dt=c/fi(t)dt= co(i(a) 4.o,1,0k表示分别绕相互正交的单位向量了,了,R(逆时针)旋转90°(如图所示) 图1:习题 (1).σ (了)=了,(对)=k ()=了,(k)=k 3)=-,0k(=k (a)变换(,0k)连续作用四次,旋转360度,所以是恒等变换 (b)取向量 (7)=0(-)=7,n(n()=n(7) 显然00;≠oj 对v 2+x 2(G(2)=x((7)+x(G()+((k) +x02(了)+xk02(-k 7-x了+xkk ))+9(G(了)+29((k) io joj 7-x了+xkk 所以a2
2. 证: 对 ∀x, y ∈ R n 和 c ∈ R, 有 σ (x + y) = (x + y, a) a 内积的线性性 ============ (x, a) a + (y, a) a = σ (x) + σ (y) σ (cx) = (cx, a) a 内积的齐次性 ============ c (x, a) a = cσ (x) 因此, σ 是线性变换. 3. 证: 对 ∀f1(x), f2(x) ∈ C [a, b] 和 ∀c ∈ R, 有 σ (f1(x) + f2(x)) = Z x a [f1(t) + f2(t)] dt = Z x a f1(t)dt + Z x a f2(t)dt = σ (f1(x)) + σ (f2(x)) σ (cf1(x)) = Z x a cf1(t)dt = c Z x a f1(t)dt = cσ (f1(x)) 4. σi , σj , σk 表示分别绕相互正交的单位向量 −→i , −→j , −→k (逆时针)旋转 90◦ (如图所示) −→k −→i −→ σi j σj σk 图 1: 习题4 (i). σi −→i = −→i , σi −→j = −→k , σi −→k = − −→j ⇒ σ 4 i −→i = −→i , σ4 i −→j = −→j , σ4 i −→k = −→k (ii). σj −→i = − −→k , σj −→j = −→j , σj −→k = −→i ⇒ σ 4 j −→i = −→i , σ4 j −→j = −→j , σ4 j −→k = −→k (iii). σk −→i = −→j , σk −→j = − −→i , σk −→k = −→k ⇒ σ 4 k −→i = −→i , σ4 k −→j = −→j , σ4 k −→k = −→k (a) 变换 σi(σj , σk) 连续作用四次, 旋转 360 度, 所以是恒等变换. (b) 取向量 −→i , σi σj −→i = σi − −→k = −→j , σj σi −→i = σj −→i = − −→k 显然 σiσj 6= σjσi . (c) 对 ∀ −→x = xi −→i + xj −→j + xk −→k , σ 2 i σ 2 j ( −→x ) = xiσ 2 i σ 2 j −→i + xjσ 2 i σ 2 j −→j + xkσ 2 i σ 2 j −→k = xiσ 2 i − −→i + xjσ 2 i −→j + xkσ 2 i − −→k = −xi −→i − xj −→j + xk −→k σ 2 j σ 2 i ( −→x ) = xiσ 2 j σ 2 i −→i + xjσ 2 j σ 2 i −→j + xkσ 2 j σ 2 i −→k = xiσ 2 j −→i + xjσ 2 j − −→j + xkσ 2 j − −→k = −xi −→i − xj −→j + xk −→k 所以 σ 2 i · σ 2 j = σ 2 j · σ 2 i
(d)不成立,考察向量F, (n(n((k)=n((n(7)=0(7(7)=01(-)=了 (G(k)=07(-k)=k 所以 f(x)∈Fx],有 a(T(f(x)=a(xf(x)=元(xf(x)=f(x)+xx-f(x) T(o((d=T-f(a f(a) 所以 (a·7-7·a)(f(x)=a(r(f(x))-r(o(f(x)=f(x) 即a7-7:=1F为F]上的恒等变换 6.证:归纳法 (a)当m=1时,a·r-r·a=1o0=1v,结论成立 (b)当m=2时, 1 T一·T:O a=1v:a=(ar-a)·σ=ara-r·a2 (1)+(2)得:2a (c)设m≤k时,成立om,r-r·om=mom-1 (d)当m=k+1时, kok (3)+(4)得 T·0+0.T·0-T 因此,2kk-(k-1)k=ak+1 →(k+1
(d) 不成立, 考察向量 −→k , σi σj σi σj −→k = σi σj σi −→i = σi σj −→i = σi − −→k = −→j σ 2 i σ 2 j −→k = σ 2 i − −→k = −→k 所以 σi · σj · σi · σj 6= σ 2 i · σ 2 j . 5. ∀f(x) ∈ F[x], 有 σ (τ (f(x))) = σ (xf(x)) = d dx (xf(x)) = f(x) + x d dxf(x) τ (σ (f(x))) = τ d dxf(x) = x d dxf(x) 所以 (σ · τ − τ · σ) (f(x)) = σ (τ (f(x))) − τ (σ (f(x))) = f(x) 即 σ · τ − τ · σ = 1F[x] 为 F[x] 上的恒等变换. 6. 证: 归纳法 (a) 当 m = 1 时, σ · τ − τ · σ = 1σ 0 = 1V , 结论成立. (b) 当 m = 2 时, σ = σ · 1V = σ · (σ · τ − τσ) = σ 2 · τ − σ · τ · σ (1) σ = 1V · σ = (σ · τ − τσ) · σ = σ · τ · σ − τ · σ 2 (2) (1)+(2) 得: 2σ = σ 2 · τ − τ · σ 2 . (c) 设 m ≤ k 时, 成立 σ m · τ − τ · σ m = mσm−1 . (d) 当 m = k + 1 时, kσk = σ · kσk−1 = σ · σ k · τ − τ · σ k = σ k+1 · τ − σ · τ · σ k (3) kσk = kσk−1 · σ = σ k · τ − τ · σ k · σ = σ k · τ · σ − τ · σ k+1 (4) (3)+(4) 得: 2kσk = σ k+1 · τ − σ · τ · σ k + σ k · τ · σ − τ · σ k+1 = σ k+1 · τ + σ · σ k−1 · τ − τ · σ k−1 · σ − τ · σ k+1 = σ k+1 · τ − τ · σ k+1 + σ · (k − 1)σ k−2 · σ 因此, 2kσk − (k − 1)σ k = σ k+1 · τ − τ · σ k+1 ⇒ (k + 1)σ k = σ k+1 · τ − τ · σ k+1
7.解取R2的基:e1,e2,其中e1= Tk(e1)=e1+0e2 0 T(e2)=ken+e2=ene」1 因此,变换Tk在基e1,e2下对应的矩阵为 1 k 01 8.解:因x1,x2,x3线性独立,x1=Ba(i=1,2,3),及y=Bb(i=1,2,3,因 a(xi)=yi =0(Bai)=Bo(B)g ai=Bb (a)所以,σ在基B下的矩阵{(B)k满足下列关系 a (B)I bi bo b 求得: o(B)B= bi b2 b3 a a2 as 112|201 2-116 1-12520 (b)o(B)=o(BM)=o(B)M a(B)=Bo(B)]B=BM(o(B)Ig, a(B)M= Bo(B)IBM 因此M(B)B={a(BgM得: 14344 lo(B)g=M- [a(B)l
7. 解: 取 R 2 的基: e1, e2, 其中 e1 = " 1 0 # , e2 = " 0 1 # , 则 τk (e1) = e1 + 0e2 = h e1 e2 i " 1 0 # τk (e2) = ke1 + e2 = h e1 e2 i " k 1 # 因此, 变换 τk 在基 e1, e2 下对应的矩阵为: " 1 k 0 1 # . 8. 解: 因 x1, x2, x3 线性独立, xi = Bai(i = 1, 2, 3), 及 yi = Bbi(i = 1, 2, 3), 因 σ (xi) = yi ⇒ σ (Bai) = B [σ (B)]B ai = Bbi (a) 所以, σ 在基 B 下的矩阵 [σ (B)]B 满足下列关系: [σ (B)]B h a1 a2 a3 i = h b1 b2 b3 i 求得: [σ (B)]B = h b1 b2 b3 i h a1 a2 a3 i−1 = 1 1 2 1 1 1 1 −1 2 2 0 1 3 1 0 5 2 0 −1 = 2 −11 6 1 −7 4 2 −1 0 (b) σ (B 0 ) = σ (BM) = σ (B)M σ (B 0 ) = B 0 [σ (B 0 )]B0 = BM[σ (B 0 )]B0 = σ (B)M = B [σ (B)]B M 因此 M[σ (B 0 )]B0 = [σ (B)]B M 得: σ B 0 B0 = M−1 [σ (B)]B M = 14 3 44 −3 −5 −2 −4 0 −14
9.解取R3空间中的一组基:B={e1,e2,e3},其中 变换σ对基B的变换为 o(B)=Bo(B)8 其中[σ(B)g就是变换a在基B下对应的矩阵.根据已知条件有: 0 B0 123 gB1 B-1 0 对于基向量e3变换没有交代,可以假设两种(这样的假设有无穷多种)o(e3)=0和a(e3) e3=B0,它们对应的矩阵分别为 110 10.解:设在基B下,变换a对应的矩阵为{a(Bs,即 (B)=bo(B) 令 00 00 B 1 B 4= 根据定义 01 B1)=AB1= aB1+cB3, 01(B2)= AB 01 (B3)=AB3= bB1+dB3, 01(B4)=AB4=bB2+dB4 则a1在这组基B=「B1B2B3B4下对应的矩阵为 O, bE 0 0 a0 b 1(B) 02dE202E2,或 e 0 dE 0 02cE202dE2 0 B1)=blA=aB1+bB2, a2 (B2)=B2A=cB a2( B3)=B3A= aB3+bB4, 2 B4)= BAA=cB3 +dB4 则a2在基B下对应的矩阵为 E2cE2020 a c0 0 2(B)g bE2dE20202 或 b do o 0202bE2dE2 00b
9. 解: 取 R 3 空间中的一组基: B = {e1, e2, e3}, 其中: e1 = 1 0 0 , e2 = 0 1 0 , e3 = 0 0 1 变换 σ 对基 B 的变换为: σ (B) = B [σ (B)]B 其中 [σ (B)]B 就是变换 σ 在基 B 下对应的矩阵. 根据已知条件有: σ B 1 0 0 = B 1 2 3 , σ B 0 1 0 = B 1 −1 0 对于基向量 e3 变换没有交代, 可以假设两种(这样的假设有无穷多种) σ (e3) = 0 和 σ (e3) = e3 = B 0 0 1 , 它们对应的矩阵分别为: 1 1 0 2 −1 0 3 0 0 , 1 1 0 2 −1 0 3 0 1 10. 解: 设在基 B 下, 变换 σ 对应的矩阵为 [σ (B)]B , 即 σ (B) = B [σ (B)]B 令 B1 = " 1 0 0 0 # , B2 = " 0 1 0 0 # , B3 = " 0 0 1 0 # , B4 = " 0 0 0 1 # 根据定义 σ1 (B1) = AB1 = aB1 + cB3, σ1 (B2) = AB2 = aB2 + cB4 σ1 (B3) = AB3 = bB1 + dB3, σ1 (B4) = AB4 = bB2 + dB4 则 σ1 在这组基 B = h B1 B2 B3 B4 i 下对应的矩阵为: [σ1 (B)]B = aE2 02 bE2 02 02 aE2 02 bE2 cE2 02 dE2 02 02 cE2 02 dE2 , 或 a 0 b 0 0 a 0 b c 0 d 0 0 c 0 d σ2 (B1) = B1A = aB1 + bB2, σ2 (B2) = B2A = cB1 + dB2 σ2 (B3) = B3A = aB3 + bB4, σ2 (B4) = B4A = cB3 + dB4 则 σ2 在基 B 下对应的矩阵为: [σ2 (B)]B = aE2 cE2 02 02 bE2 dE2 02 02 02 02 aE2 cE2 02 02 bE2 dE2 , 或 a c 0 0 b d 0 0 0 0 a c 0 0 b d