(後只人季 15克莱姆( Cramer)法则
1.5 克莱姆（Cramer）法则
(後只人季 C1x1+ 12~2 十 十 ao,r t a 22 ann bz2 十 aero t n l1 1 由n元线性方程组的系数组成的阶行列式 12 /21 22 2 2 称为n元线性方程组(5.1)的系数行列式
+ + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n α x α x α x b α x α x α x b α x α x α x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 (5.1) n n nn n n α α α α α α α α α A 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =
(後只人季 定理1.5(克莱姆定理)设线性方程组(51)的系 数行列式|A|≠0,则它有唯一的解 其中AJ|G=1,2,…,n)是把系数行列式 A中第j列的n个元素分别换成常数项 b1,b2,…,bn所得到的n阶行列式
, , , , . 2 3 2 2 1 1 A A x A A x A A x A A x n = = = n =
(後只人季 证明 用4中第列元素的代数余子式y,42,…,A 依次乘方程组n个方程得 (aux, +a, x,+.+a, )A,=b,A (n1x1+a2x2+…+anx,)41=b2A1 (anx,+anx,+.+x)A=b,A 在把n个方程依次相加,得
证明 ( ) ( ) ( ) + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组(5.1)的 个方程,得 用 中 第 列元素的代数余子式 1 , 2 , , n A j A j A j Anj 在把 n 个方程依次相加，得
(後只人季 kkk x1+… kiki ∑b4 由代数余子式的性质可知,上式中x的系数等于A, 而其余(≠消)的系数均为;又等式右端为 于是 5) 当A≠Q时,方程组(5.5)有唯一的一个解 2
, 1 1 1 1 1 1 = = = = = + + + + n k k k j n n k j k n k j n k k j k j n k k k j b A a A x a A x a A x 由代数余子式的性质可知, A x j = Aj (j = 1,2, ,n). 上式中xj 的系数等于A, 而其余x (i j)的系数均为0; i 又等式右端为Aj . 于是 (5.5) 当 A 0 时,方程组 (5.5) 有唯一的一个解 , , , , . 2 3 2 2 1 1 A A x A A x A A x A A x n = = = n =