线性代数 子空间的交、和与直和 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-5-9
线性代数 子空间的交、和与直和 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-5-9
设W1,W2都是线性空间V的子空间,则其交( intersection定义为 W1∩W2={x|x∈W1,x∈W2} 两个线性空间的交一定为线性子空间
• 设W1,W2都是线性空间V的子空间，则其交(intersection)定义为 • 两个线性空间的交一定为线性子空间。 {x | , } W1 ∩W2 = x ∈W1 x ∈W2 2
线性子空间的和 两个线性子空间的交是线性子空间,但两个线性子空间 的并集一般不是线性子空间。 设∈1=(1,0,0)′,∈2=(0,1,0) W=L(e1)UL(e2)不是R3的线性子空间。 (∈1,∈2∈W但∈1+∈2gW.) 从几何上看,L(∈1与L(∈2)分别是R3的两条坐标轴, 由它们可以确定xOy平面,即2维的线性子空间,该平面就 称为L(∈1)与L(∈2)的和。 命题2.1。设W1,W2是线性空间V的两个线性子空间,则集合 W={a1+a2|a1∈W1,2∈W2} oro 也是一个线性子空间, 称为W1与W2的和,记为W1+W2 10:34 线性空间与欧几里得空间
线性子空间的和 两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间 的并集一般不是线性子空间。 10:34 线性空间与欧几里得空间 3 则集合 也是一个线性子空间， proof
线性子空间的和 例子:在R3中,设W1是通过原点的直线, W2是过原点且与W1垂直的平面, 则W1∩W2={(0,0,0)}=0(零子空间), W1+W2=R3 从线性子空间的和的定义很容易看出 (1)交换律:W1+W2=W2+W1 (2)结合律:W1+(W2+W3)=(W1+W2)+W3 (3)多个子空间的和 m+W2+…+Wm={∑aaeW 10:34 线性空间与欧几里得空间
线性子空间的和 从线性子空间的和的定义很容易看出： 10:34 线性空间与欧几里得空间 4 (3) 多个子空间的和：
线性子空间的和的维数 先看K4中的两对子空间的和 1)W1=L(1,0,0,0),(0,1,0,0)7) W2=L(0,0,1,0),(0,0,0,1)), 2)V1=L(1,0,0,0)1,(0,1,0,0)7) V2=L((0,0,1,0),(1,1,0,0)7) 以上4个线性子空间都是2维的 W1+W2=K4的维数是4 1+V2=L(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))的维 数是3. 分析发现,W1与W2的交集是零子空间 ∽1与V2的交是1维子空间,比较大,导致了其和比较小。 10:34 线性空间与欧几里得空间
线性子空间的和的维数 10:34 线性空 间与欧几里得空 间 5 以上 4 个 线性子空 间都是 2 维 的