3行列式的性质 记D 22 D 12 行列式D称为行列式D的转置行列式( transpose) 若记D=det(an),D=det(b),则b=a1 性质1行列式与它的转置行列式相等,即D=D
3 行列式的性质 11 12 1 2 21 2 2 1 2 , n n n n nn a a a a a a a a D a = L L M L M O M 记 21 22 11 1 2 1 2 12 n n n n T n n a a a a a a D a a a = M L L L M O M 行列式 称为行列式 的转置行列式(transpose). T D D 若记 det( ), det( ) ，则 . T D a D b ij ij = = ij ji b a = 性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 . T D D=
性质1行列式与它的转置行列式相等 证明若记D= det(a),D=det(bn),则 根据行列式的定义,有 D=∑(-1)n)bnb P1P2…P ∑(-1ynp n1n22… P1P2…P D 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立
1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n T t p p p p p np p p p D b b b = − ∑ L L L 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证明 根据行列式的定义，有 若记 D a D b = = det( ), det( ) ij ij T ，则 ij ji a = b 1 2 n p p p L 1 1 2 1 2 2 1 ( ) 2 ( 1) n n n p p t p p p p p p p n = − ∑ a a a L L L = D 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 ,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立
性质2互换行列式的两行(列),行列式变号 备注:交换第i(列)和第行(列),记作厂(r(c1台)C1) 验证175 662=-196 358=196 358 175|175 于是662|=-358 358662 推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零 证明互换相同的两行,有D=-D,所以D=0
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 验证 1 7 5 6 6 2 3 5 8 1 7 5 3 5 8 6 6 2 = − 196 = 196 备注：交换第i行（列）和第j 行（列），记作 ( ) . i j i j r r c c ↔ ↔ 于是 1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 3 5 8 6 6 2 = − 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零 ，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 ， D D = − ，所以D = 0
性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个 倍数k,等于用数k乘以此行列式 备注:第i行(列)乘以k,记作rXk(c1×k) 验证我们以三阶行列式为例.记 11 13 11 12 13 D 22 23 D,=ka ka22 ke 23 31 32 a 32 根据三阶行列式的对角线法则,有
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个 中所有的元素都乘以同一个 倍数 ，等于用数 乘以此行列式. 验证 k k a a a 我们以三阶行列式为例 三阶行列式为例. 记 a a a 备注：第 行i（列）乘以 k，记作 ( ) . i i r k c k × × 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , a a a D a a a a a a = 根据三阶行列式的对角线法则，有 11 12 13 1 21 22 23 31 32 33 k k a a a D a a a a a a = k
D,=ka2ka2 ka23 a1(k2)a3+an12(ka23)a31+a13(ka21)3 a13(ka2) 12(Ma 21)a3-a1(ka23)a2 all a2+122l 12 Ta D 132231-1122143-m14234 推论行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提 到行列式符号的外面 备注:第行(列)提出公因子记作r÷k(c1÷k)
11 12 13 1 21 22 23 31 32 33 k k a a a D a a a a a a = k 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k a a a = + + − − − 13 22 31 12 21 33 11 23 32 − − − a a a a a a ( ) ( ) ( ) k k k a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a k a + + = − − − = kD 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提 中所有元素的公因子可以提 到行列式符号的外面． 备注：第 行i（列）提出公因子k，记作 ( ) . i i r k c k ÷ ÷