例4用初等行变换法求A的逆矩阵 012 4,求A- 2-10 解 012:100 114:010 14:010-m12,012:100 2-10001 2-10:00 14010 14010 R3-2R 012100|R3+3R2 0-38:0-2 00-23-2
例4 用初等行变换法 求A的逆矩阵 , . 2 1 0 1 1 4 0 1 2 −1 − A = 求A 解 →R12 − = 2 1 0 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 1 2 1 0 0 (A I) 2 −1 0 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 → R3− 2R1 → R3+ 3R2 0 −3 −8 0 −2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 0 −2 3 −2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 **
114:010 110:6-32 01 0 010:4-21 00-2:3-2 00-23-21 100:2-1 —)0104-2 00-23-21 001 所以 3
→ + + 1 2 3 2 3 R R R R → R1− R2 → − − −− = − 21 1 234 2 1 2 1 1 1 A 所以 0 0 −2 3 −2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 − −−− 0 0 2 3 2 1 0 1 0 4 2 1 1 1 0 6 3 2 − −−− 0 0 2 3 2 1 0 1 0 4 2 1 1 0 0 2 1 1 − − −− 21 1 23 0 0 1 0 1 0 4 2 1 1 0 0 2 1 1
1用初等行变换法求逆,只能对(A进行行变换:(A)只能左乘 2变换过程中,若出现一行全是零,则此矩阵不可逆
1 用初等行变换法求逆,只能对(A I)进行行变换: (AI) 只能左乘 2 变换过程中,若出现一行全是零,则此矩阵不可逆
小结 n阶方阵A可逆分彐n阶方阵B,AB=BA=Ⅰ A|≠0,而且A-1=A A →A可表示为一些初等矩阵的乘积 求逆矩阵的方法 (1)、由AB=/琙或BA=L(待定系数法)定义法) 2)、求伴随矩阵.(阶数较低)(公式法) (3)、初等变换的方法(初等变换法) (4)、分块矩阵的方法
小结 . | | 1 | | 0 , . −1 ∗ ⇔ ≠ = ⇔ ∃ = =A A A A n A n B AB BA I ，而且 阶方阵 可逆 阶方阵 ⇔ A可表示为一些初等矩阵的乘积。 求逆矩阵的方法： (2)、求伴随矩阵.（阶数较低）(公式法) (1)、由AB=I或BA=I.(待定系数法)(定义法) (3)、初等变换的方法(初等变换法) (4)、分块矩阵的方法
20 例把可逆矩阵A=-111分解为初等矩阵的乘积 解对A进行如下初等变换 120 11 c2-2c1-131n+n -37031 3-80 3-80 0-80 100 100 c32013c3-3c2010 (背 3010 00-8 00-8 00 与每次初等交换对应的矩阵分别为 100 B引010 R彐010 001 30 00-1/8
例 把可逆矩阵 解 对 A 进行如下初等变换: − − 3 2 0 1 1 1 1 2 0 − − 3 8 0 1 3 1 1 0 0 3 − 8 0 0 3 1 1 0 0 0 − 8 0 0 3 1 1 0 0 0 0 − 8 0 1 3 1 0 0 − − 3 2 0 1 1 1 1 2 0 A = 分解为初等矩阵的乘积. 3 3 2 c − c 2 1 r + r 2 2 1 c − c 3 2 c ↔ c 3 3 1 r − r 0 0 − 8 0 1 0 1 0 0 . 0 0 1 0 1 0 1 0 0 3 8 1 c − 与每次初等交换对应的矩阵分别为: P1 = , 0 0 1 1 1 0 1 0 0 P2 = , 3 0 1 0 1 0 1 0 0 − P3 = , 0 0 8/1 0 1 0 1 0 0 −