说明 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算,称为 线性运算 2.向量空间中的向量不一定是有序数组 3.判别线性空间的方法:一个集合,对于定 义的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条 性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间
2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 说明 1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为 线性运算． 2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．
线性空间的判定方法 (1)一个集合,如果定义的加法和乘数沄 算是通常的实数间的加乘沄算,则只需检验对运 算的封闭性. 例1实数域上的全体mXn矩阵,对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间,记作Rm +B…=C ZA mxn mxn mxn Rm×"是一个线性空间
（１）一个集合，如果定 义的加法和乘数运 算是通常的 实 数 间的加乘运算， 则只需检验对 运 算的封 闭性． 例 １ 实数域上的全体 m × n 矩 阵，对 矩 阵的加法 线性空间的判定方法 例 １ 实数域上的全体 矩 阵，对 矩 阵的加法 和数乘运算构成 实数域上的 线性空 间，记作 ． m × n m n R × , Q A m× n + B m× n = Cm× n , λA m× n = D m× n 是一个线性空间 . m n R × ∴
例2次数不超过n的多项式的全体,记作Pxn即 PIxn={p=anx"+…+a1x+a0an,…,a1,a0∈R}, 对于通常的多项式加法,数乘多项式的乘法构成向 量空间 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律 (anx"+…+anx+ao)+(bnx"+…+b1x+b0) (an+bn)x+…+(a1+b1)x+(a+bo)∈Pxln (anx"+…+a1x+ao) (巩an)x"+…+(a1)x+(a0)∈P[xln P[xl对运算封闭
. , [ ] { , , , }, , [ ] , 1 0 1 0 量空间 对于通常的多项式加法 数乘多项式的乘法构成向 次数不超过 的多项式的全体 记作 即 P x p a x a x a a a a R n P x n n n n n = = +L+ + L ∈ 例2 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． ( ) ( ) a x a1 x a0 b x b1 x b0 n n n n +L+ + + +L+ + ( ) ( ) ( ) a b x a1 b1 x a0 b0 n = n + n +L+ + + + P[x] ∈ n ( ) a x a1 x a0 n λ n +L+ + ( ) ( ) ( ) a x a1 x a0 n = λ n +L+ λ + λ P[x] ∈ n P[x] 对运算封闭. n
例3n次多项式的全体 Q|xln={P=anx"+…+m1x+a0an;…,a1 a0∈R,且an≠0} 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空 0p=0x"+…+0x+0gQ[xl Q|xl对运算不封闭
. , }0 [ ] { , , , 0 1 0 1 间 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空 且 次多项式的全体 ∈ ≠ = = + + + a R a Q x p a x a x a a a n n n n n n L L 例3 间. 0 p = 0 x + + 0x + 0 n L Q[x] ∉ n Q[x] 对运算不封闭. n
例4 sx]=is=Asin(x+B)A, BE R 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 旧 S,+S2=A sin(x+B1)+A2 sin(x+B2) (a, cosx+b, sinx)+(a2 cos x+b2 sin x) (a,+a2)cosx+(b,+b2)sin x =Asin(x+B)∈SIxl
例４ 正弦函数的集合 S[x] = {s = Asin(x + B)A,B ∈ R}. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间． ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 Q s + s = A sin(x + B ) + A sin(x + B ) 1 + 2 = 1 + 1 + 2 + 2 (a cos x b sin x) (a cos x b sin x) = 1 + 1 + 2 + 2 = (a1 + a2 )cos x + (b1 + b2 )sin x = Asin(x + B) ∈ S[ x]