因此有 f()=limDy)-L( Dy®0 Dy 1e, lim- elim f(Dx+Dy)-f(2+Dy) Dy®0Dy EDxR0 Dx lim f(xo+Dx,Yo)-f(xo2yo) Dx®O Dx EE limlim Dy@0Dx@0DxDy f(xo+Dx,Fo+Dy) f(xo2 yo+Dy)-f(xo+Dx,yo)+f(xo,Yo)(1) 前页
前页 后页 返回 因此有
类似地有 1 fyx(xo2Yo)=limlim Dx@0Dy®0DxDy f(xo+Dx,o+Dy) -f(xo+Dx,Jo)-f(xo2 yo+Dy)+f(xo2Yo)(2) 为使和八心n乃 这两个累次极限相等.下述定理给出了使(1)与(2) 相等的一个充分条件. 定理17.7若0y’ 连续，则 前过
前页 后页 返回 类似地有 这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2) 相等的一个充分条件． 连续，则
fy(0o)=f(x0). (3) 证令 F(Dx,Dy)=f(xo+Dx,yo+Dy)-f(xo+Dx,yo) -f(xo2Yo+Dy)+f(xo2Yo), i(x)=f(x,yo+Dy)-f(x,Yo). 于是有 F(Dx,Dy)=j (xo+Dx)-j(xo). (4) 对口应用微分中值定理， 义 前顶
前页 后页 返回 证 令 于是有 (4) (3)
i(xo+Dx)-j(xo)=j 4xo+q Dx)Dx =If(x。+9Dx,y+Dy)-f(x+9Dx,yo)川Dx. 又f(x,+4Dx,y)作为y的可导函数，再使用微分 1旦c土U,1 j(xo+Dx)-j(xo)=fxr(xo+q1 Dx,yo+q2 Dy)DxDy. 由（④则有 F(Dx,Dy)=fs(xo+q:Dx,Yo+q2 Dy)DxDy (⑤ (0<9192<1). 如果令 前页
前页 后页 返回 由 (4) 则有 (5) 如果令
v(x)=f(xo+Dx,y)-f(xo,y), 则有 F(Dx,Dy)=y（y+Dy)-y(（y): 用前面相同的方法，又可得到 F(Dx,Dy)=fx(xo+43 Dx,yo+q4Dy)Dx Dy (6) (0<9344<1): fxr(xo+q1 Dx,yo+42Dy)=fyx(xo+93 Dx,yo+q4 Dy) (0<919239394<1). (7) 前
前页 后页 返回 则有 用前面相同的方法, 又可得到 (6)