Advanced mathematics 第三章 高等数学 元函数积分学及其应用 人民邮电出版社
1 第三章 一元函数积分学及其应用 第三章 人民邮电出版社 Advanced mathematics 高等数学 一元函数积分学及其应用
第三章 内容导航 第一节不定积分的概念与性质 第二节不定积分的换元法与分部法 第三节有理函数的不定积分 第四节定积分的概念与性质 第五节微积分基本定理 第六节定积分的换元法和分部法 第七节定积分的换元法和分部法 第八节反常积分
2 第三章 一元函数积分学及其应用 第三章 内容导航 第二节 不定积分的换元法与分部法 第三节 有理函数的不定积分 第四节 定积分的概念与性质 第五节 微积分基本定理 第六节 定积分的换元法和分部法 第七节 定积分的换元法和分部法 第八节 反常积分 第一节 不定积分的概念与性质
课前导读 上一章介绍了导数的概念，例如，已知函数y=sin2x,求其导函数，即 y'=(sin2x)'=2cos2x. 现在我们来做一件相反的事情：已知某个函数的导函数是cos2x,即 （)）'=cos2x,问：这个函数是什么？ 利用导数公式可以猜到，这个函数可以是y=)n2x,也可以是 y=2s1n2x+1,答案并不唯一 这种已知函数的导数或微分，求该函数的运算称为‘“积分”运算.本 节将介绍不定积分的概念及其计算方法
课 前 导 读 3 上一章介绍了导数的概念, 例如, 已知函数 y x = sin 2 , 求其导函数, 即 y x x ' sin 2 ' 2cos2 = = ( ) . 现在我们来做一件相反的事情: 已知某个函数的导函数是cos2x , 即 ( )' cos2 = x , 问: 这个函数是什么? 利用导数公式可以猜到, 这个函数可以是 1 sin 2 2 y x = , 也可以是 1 sin 2 1 2 y x = + , 答案并不唯一. 这种已知函数的导数或微分, 求该函数的运算称为“积分”运算. 本 节将介绍不定积分的概念及其计算方法
原函数 第三章一元函数积分学及其应用 定义1已知f(x)是定义在某区间1内的函数，若存在函数F(x),使得 F(x)=fx)或者dFx)=fxd,xeI 则称F(x)为区间1上f(x)的原函数 可以证明，若函数f(x)在某区间上连续，则在该区间上f(x)的原函数一定 存在，即在区间I上存在可导函数F(x),使F(x)=fx)x∈I.也就是说，连续 函数一定有原函数
4 第三章 一元函数积分学及其应用 定义1 F(x) = f (x)或者dF(x) = f (x)dx , xI , 则称 F(x)为区间 I 上 f (x)的原函数. 一、原函数 已知 f x( )是定义在某区间 I 内的函数, 若存在函数 F x( ) , 使得 可以证明, 若函数 f x( ) 在某区间上连续, 则在该区间上 f x( ) 的原函数一定 存 在, 即在区间 I 上存在可导函数 F(x), 使 F(x) = f (x), x I . 也就是说, 连 续 函数一定有原函数
原函数 第三章一元函数积分学及其应用 另外，若F(x)为f(x)的一个原函数，因 (F(x)+C)y=f(x)(C为任意常数) 故F(x)+C也为f(x)的原函数.由于C的任意性，故f(x)有无穷多个原函 数 假设F(x)和G(x)都是f(x)在区间I上的原函数，因为G(x)=F(x)+C,故 由拉格朗日中值定理的推论可知，G(x)和F(x)只相差一个常数，即 G(x)=F(x)+C. 因此，若F(x)为f(x)的一个原函数，则f(x)的全部原函数可以表示为 F(x)+C(C为任意常数)
5 第三章 一元函数积分学及其应用 另外, 若 F x( )为 f x( ) 的一个原函数, 因 ( ( ) ) ( ) F x C f x + = (C 为任意常数). 故 F x C ( ) + 也为 f x( ) 的原函数. 由于C 的任意性, 故 f x( ) 有无穷多个原函 数. 假设 F x( )和G x( )都是 f x( ) 在区间 I 上的原函数, 因为G x F x C ( ) ( ) = + , 故 由拉格朗日中值定理的推论可知, G x( )和 F x( )只相差一个常数, 即 因此, 若 F x( )为 f x( ) 的一个原函数, 则 f x( ) 的全部原函数可以表示为 F x C ( ) + (C 为任意常数). 一、原函数 G x F x C ( ) ( ) = +