g-1e2z8=1(2e+2)=2e+2r. 1y9x2 Ix8TyIxo Ix 例2求函数z=arctan'的所有二阶偏导数 解 数为 12zae-yi 2xy x2 1xx2+26(2+y22’ 2 前页 后近
前页 后页 返回 数为 例2
:=1知y0.x2-广 IxTy 2+。+p 2x=1ex6.x2. xx8x2+y2g(x2+22’ 2:=1ex_0=:2w 8x+y。+yy 注意在上面两个例子中都有 = IxIy TyTx 前页
前页 后页 返回 注意 在上面两个例子中都有
即先对如后对y与先对刀后对x的两个二阶偏导 数相等（称这种既有关于x,又有关于y的高阶偏导 数为混合偏导数).但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数 ；0,x2+y2=0. 它的一阶偏导数为 前页
前页 后页 返回 数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数 它的一阶偏导数为 数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导
f(x,y)=i 业，40 (x2+y2)2 0, x2+y2=0; f,(x,y)=i(x2+y2)2 30, x2+y2=0. U)关个L 的混合偏导数 前
前页 后页 返回 的混合偏导数 :
Jx(0,0)=lim fx(0,Dy)-f(0,0) =lim -Dy=-1, Dy®O Dy Dy@0 Dy fr.x(0,0)=lim f(Dx,0)-f(0,0) Dx =1. Dx®0 Dx DxR0Dx 由此看到，这两个混合偏导数与求导顺序有关.那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此 先按定义把则n刀y 式。由于 f(x,y)=lim f(x+Dx,y)-f(x,y) Dx®0 Dx 前页
前页 后页 返回 由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 式. 由于