§2复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人，没有一个会 对复合函数微分法的重要性产生怀疑，可以 毫不夸张地说，谁不懂得复合微分法，谁就 会在计算导数或偏导数时寸步难行. 一、复合函数的求导法则 二、复合函数的全微分 前页 回
前页 后页 返回 §2 复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人, 没有一个会 对复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以 毫不夸张地说, 谁不懂得复合微分法, 谁就 会在计算导数或偏导数时寸步难行. 二、复合函数的全微分 返回 一、复合函数的求导法则
一、复合函数的求导法则 设函数 x=j(s,t)与y=y(s,t) (1) 定义在St手面的区域D上，函款 3=f(x,y) 2) 定义在y平面的区域D业.若 (x,y)x=j(s,t),y=y (s,t),(s,t)i Di D, 则可构成复合函数： 前页
前页 后页 返回 一、复合函数的求导法则 设函数 (1) 定义在 平面的区域 D 上, 函数 (2 ) 定义在 xy 平面的区域 上. 若 则可构成复合函数:
=F(s,t)=f(j(s,t),y (s,t)),(s,t)I D. (3) 其中(1)为内函数，(2)为外函数，(x,y)为中向意量， (5,t)为自意量. 下面将讨论复合函数F的可微性，并导出F的偏导 数与全微分的复合运算法则. 定理17.5若x=j(s,t),y=y(s,t)在点(s,t)ID可 傲，=f(x,y)在点(x,y)=0(s,t)y(s,t)可傲，则 复合函数x=f(U(s,t)y(s,t))在点(s,t)可微，且 关于s与t的偏导数分别为 前顶
前页 后页 返回 (3) 其中 (1)为内函数, (2) 为外函数, ( x, y ) 为中间变量, ( s, t )为自变量. 下面将讨论复合函数 F 的可微性, 并导出 F 的偏导 数与全微分的复合运算法则. 定理17.5 若 在点 可 微， 在点 可微, 则 关于 s 与 t 的偏导数分别为 复合函数 在点 可微，且
z +3 ×心 Is (s)Ixr) ss,)y,) ss,1) (4) ✉ x t (s.)Ix()It (s Ty (x,)Tt (s,t) 证 由假设x=j(s,t),y=y(s,t)在点(s,t)可微，于 是 Dx= Ds+D+a:Ds+D, (5 s t Dy Ds+D+a2Ds+b2Dt, (6) Is t 前页
前页 后页 返回 (4) 是 (6) 证 由假设 在点 可微, 于 (5 )
其中(Ds,D)®(0,0)时(a1,b1,42,b2)®(0,0,0,0). 又由z=f(x,y)在点(x,y)可微，故有 Ds-iDx+Dy+aDx+bDy, (7) Ix y 其中(Dx,Dy)®(0,0)时，(a,b)®(0,0)，并可补充 定义：当Dx=Dy=0时，a=b=0. 现把（⑤），（⑥）两式代入()式，得到 -咖waw+6, x“o4s 前
前页 后页 返回 (7) 现把 (5), (6) 两式代入 (7) 式，得到 其中 时 又由 在点 可微, 故有 其中 时， 并可补充 定义: 当 时