§3二元函数的连续性 无论是单元微积分还是多元微积分，其中 所讨论的函数，最重要的一类就是连续函数 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化 了些；而它们的局部性质与在有界闭域上的 整体性质，二者完全相同. 一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质 前页
前页 后页 返回 §3 二元函数的连续性 无论是单元微积分还是多元微积分, 其中 所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数. 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化 了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的 整体性质, 二者完全相同. 一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质 返回
一、二元函数的连续性概念 必连续性的定义 定义1设f为定义在点集DR业的二元函数，P ID.若"e>0,Sd>0,只惠PiU(P;d)ID,就有 I f(P)-f(P)e, (1) 则称f关于集合D在点P连续.在不致误解的情形 下，也称f在点P连续。 若在D上任何点都关于集合D连续，则称f为D 上的连续函数
前页 后页 返回 一、二元函数的连续性概念 ※ 连续性的定义 若 只要 , 就有 则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形 下, 也称 f 在点 连续. 若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D 上的连续函数. 定义1 设 f 为定义在点集 上的二元函数
由上述定义知道：若P是D的孤立点，则P必定是 f的连续点.若P是D的聚点，则f关于集合D在点 P,连续等价于 lim f(P)=f(P). (2) P®Po Pi D 如果P是D的聚点，而(2)式不成立（其含义与一元 函数的对应情形相同)，则称p是∫的不连续点( 称间断点).特别省(2)式左也极限存在，但不等于 f(P)时，P,是f的可去间断点. 如上节例1、2给出的函数在原点连续；例3、4、5
前页 后页 返回 由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是 f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点 连续等价于 如果 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元 函数的对应情形相同 ), 则称 是 f 的不连续点 ( 或 称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于 如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5 时, 是 f 的可去间断点
给出的函数在原点不连续.又若把上述例3的函数 改为 ìy f=e2， (x,y)i《x,y)川y=mx,x10}, m 1+m2 (x,y)=(0,0), 其中m为固定实数，亦即函数f只定义在y=mx 上，这时由于 lim t.of(x )=m (x,y)®(0,0) -f00, y=mx
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因此f在原点沿着直线y=mx是连续的. 例1讨论函数 x fx,)=x2+y2,(x)'（0,0 a>0) 10, (x,y)=(0,0), 在坐标原点的连续性. 解由于当a>2且r®0时， |f(rcos9,rsing)川=-2(cosg)￡r2®0， 国此imf(x,川=0=f0,0,此时f在原点连
前页 后页 返回 在坐标原点的连续性． 因此 此时 f 在原点连 因此 f 在原点沿着直线 是连续的． 例1 讨论函数 解 由于当