§3方向导数与梯度 在许多问题中，不仅要知道函数 在坐标轴方向上的变化率（即偏导数）， 而且还要知道在其他特定方向上的变 化率，这就是本节所要讨论的方向导数 前页
前页 后页 返回 §3 方向导数与梯度 在许多问题中, 不仅要知道函数 在坐标轴方向上的变化率 (即偏导数), 而且还要知道在其他特定方向上的变 化率,这就是本节所要讨论的方向导数. 返回
必方向导数的概念 定义1设函数f(x,y,)在点P(x,0)的某邻域 U(P)iR3内有定义，1为从点P,出发的射线.任 给P(x,y,z)i11UV(P),记r=|P,P1若极限 lim Dif=lim, (P)-f(Po) P®0+ r®0 存在，则称此极限为函数∫在点P沿方向，的方向 导数，记作 活1咬行p
前页 后页 返回 ※ 方向导数的概念 定义1 设函数 导数, 记作 存在, 则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向 给 若极限
不难看出：若 存在对x的偏导数，则 J 在点 沿x箱正方的方修导致恰为 -® f仍(P)=f(P)(I=+Ox)片 当的方向为x轴的负方向时，则有 f所(P)=-f(P)(1=-Ox)5 对于以 必方向导数与偏导数之间的一般关系 定理17.6若1
前页 后页 返回 ※ 方向导数与偏导数之间的一般关系 当 的方向为 x 轴的负方向时，则有
在点P,沿任一方向的方向导数都存在，且 fi(Po)=f(Po)cosa +f(P)cosb+f(P)cosg,(1) 其中cosM,cosb,c0sg 为1的方向余弦. 证设P(x,y,z)为 1上任一点，于是 有（参见图17-5） 图17-5
前页 后页 返回 图 17 – 5 其中 证 设 为 有 (参见图17 – 5 ) 在点 沿任一方向 的方向导数都存在, 且 为 的方向余弦． 上任一点，于是
Dx=x-xo=r cosa,ii i Dy =y-yo=r cosb,y (2) Dz=z-z0=rc0Sg·b 由假设f在点P,可微，则有 f(P)-f(Po)=f (P)Dx+f(P)Dy +f.(P)Dz+o(r). 上式左、右两边皆除以 () 并根据 式可 前顶
前页 后页 返回 (2) 由假设 在点 可微，则有