§2二元函数的极限 与一元函数的极限相类似，二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数 的增多，导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式，而果次极限是一元函数情形下所不 会出现的： 一、二元函数的极限 二、累次极限 前过 后
前页 后页 返回 §2 二元函数的极限 与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数 的增多, 导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式, 而累次极限是一元函数情形下所不 会出现的. 一、二元函数的极限 二、累次极限 返回
一、二元函数的极限 定义1设二元函数f定义在DiR2业，P为D的 一个彩点，A是一实散.若"e>0,$d>0,使得当 PiU(P;d)ID时，都有 |f(P)-A|<e, 则称∫在D业当P®P时以A为极限，犯作 lim f(P)=A. P®P0 PI D 在对PID不致产生误解时，也可简单地写作 前
前页 后页 返回 一、二元函数的极限 定义1 设二元函数 定义在 上, 为 D 的 一个聚点, A 是一实数. 若 使得当 时, 都有 在对 不致产生误解时, 也可简单地写作 则称 在 D 上当 时以 A 为极限, 记作
lim f(P)=A. P®Po 当P,P分别用生标(x,y),(x,y)表示时，业式也 常写作 lim 1f(x,y)=A. (x,y)®(0,0) 例1传定义路0,1im,(x2+xy+y2)=7. (x,y)®(2,1) 证因为 x2+y+y2.7=(x2.4)+xy-2+(02-1) 前页
前页 后页 返回 当 P, 分别用坐标 表示时, 上式也 常写作 例1 依定义验证 证 因为
=|(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)y-1)川 ￡|x-2川x+y+2|+|y-1y+3. 不妨先限制在点(2,1)的方邻域 {《x,y)|x-21<1,1y-1<1} 内来讨论，于是有 1y+3|=|y-1+4|￡|y-1|+4<5, |x+y+2|=|(x-2)+(y-1)+5 ￡|x-2|+|y-1+5<7. 前页
前页 后页 返回 不妨先限制在点(2, 1)的方邻域 内来讨论, 于是有
所以 x2+xy+y2.7<71x-2+51y-1 <7(x-2|+|y-1): "e>0,取d=min(1为x-2<d,1y-1<d 且(x,y)1(2,1)时，就有 x2+xy+y2-7<7'2d=14d￡e. 这就证得 1im,(x2+xy+y2)=7. (x,y)®(2,1) 前页
前页 后页 返回 当 时, 就有 这就证得 所以