§1平面点集与多元函数 多元函数是一元函数的推广，它保留着一元 函数的许多性质，同时又因自变量的增多而产 生了许多新的性质，读者对这些新性质尤其要 加以注意.下面着重讨论二元函数，由二元函数 可以方便地推广到一般的多元函数中去。 一、平面点集 二、R2上的完备性定理 三、二元函数 四、 n元函数 前页 后页) 返回
前页 后页 返回 §1 平面点集与多元函数 多元函数是一元函数的推广, 它保留着一元 函数的许多性质, 同时又因自变量的增多而产 生了许多新的性质, 读者对这些新性质尤其要 加以注意. 下面着重讨论二元函数, 由二元函数 可以方便地推广到一般的多元函数中去. 四、 n 元函数 返回 一、平面点集 二、 R2 上的完备性定理 三、 二元函数
一、平面点集 ※平面点集的一些基本概念由于二元函数的定 义域是坐标平面上的点集，因此在讨论二元函数 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念 在平面上确立了直角坐标系之后，所有有序实数 对(x,y)与平面上所有点之间建立起了一一对应 坐标平面上满足某种条件P的点的集合，称为平 面点集，记作 E={(c,)川(c,y)满足条件P}. 前页 后顶 返回
前页 后页 返回 一、平 面 点 集 ※ 平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平 E x y x y P = ( , ) ( , ) . 满足条件 对 ( , ) x y 与平面上所有点之间建立起了一一对应. 在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数 义域是坐标平面上的点集, 因此在讨论二元函数 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念. 面点集, 记作
例如： (①全平面： R2={(,y)川-0<x<+0,-0<y<+0}.(I) m圆：C={x,y川x2+y2<r2} (2) (i矩形：S={(x,y)川a≤x≤b,c≤y≤d},(3) 也常记作：S=[a,b]×[c,d. (V)点A(,0)的6邻域： {(x,y)川(x-)2+(y-)2<62} (圆形) 与{(x,y)川1x-<6,y-|<δ}（方形)： 前页 后页 返回
前页 后页 返回 例如： (i) 全平面: = − + − + 2 R ( , ) | , . (1) x y x y 2 2 2 (ii) ( , ) . 圆: C x y x y r = + (2) (iii) ( , ) , , 矩形: S x y a x b c y d = (3) 0 0 (iv) ( , ) : 点 的 邻域 A x y 与 方形 . ( , ) | | , | | ( ) x y x x y y − − 0 0 也常记作： S a b c d = [ , ] [ , ]. − + − 2 2 2 0 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) x y x x y y 圆形
d S (a)圆c (b)矩形S 图16-1 y (a)圆邻域 (b)方邻域 图16-2 前页 后页 返回
前页 后页 返回 图 16 – 1 C S x x y y O O a b c d r (a)圆 C (b) 矩形 S • • A A 图 16 – 2 x x y y O O (a)圆邻域 (b)方邻域
由于点A的任意圆邻域可以包含在点A的某一 方邻域之内（反之亦然），因此通常用“点A的5 鍰”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域， 蒲记号U(46)或U(A)来表示. 点A的空心邻域是指： {(x,y)川0<(x-)2+0y-)2<62}(圆) 或 {(x,ylx-七K6,ly-oK6,(x,y)≠(x)}(方)， 并用记号U(A;δ)（或U°(A)来表示. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一 方邻域之内(反之亦然), 因此通常用“点 A 的 邻 用记号 U A( ; ) 或 U A( ) 来表示. 点 A 的空心邻域是指: 2 2 2 0 0 ( , ) 0 ( ) ( ) ( ) x y x x y y − + − 圆 ( , ) | | , | | ,( , ) ( , ) ( ), x y x x y y x y x y − − 0 0 0 0 方 或 并用记号 U A U A ( ) ) ; ( ( 或 ) 来表示. 域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域, 并