第一章部分习题及解答 1.求下列行列式中元素a2,a1,a:的余子式和代数余子式。 anan ans a (2)a1a42sa as an ass ay a41a42a43a4 azazaz an ass ans 解：a的余子式Me=Q1aga和代数余子式A:=(-laia: a41a43a4 aa aas a a,的余子式M1=a2a23a和代数余子式41=(-l)az as az an ass a2a14 a的余子式M=0!aaa和代数余子式4=-)aa a41a42a4 aa as au 2.用行列式的定义计算行列式 a1a2000 a1a2000 (5)a:aa100 aa a 1 0 a4 00 1 解：由定义得 a2000 la21000 D= 10 a1100 a42 0 1 +(-I)"2d a1010 =a,a2-aa2l· a400 1 a001 4.证明 1111 (2)a b c=(a+b+cXa-bXa-cXc-b): a b c
第一章 部分习题及解答 1．求下列行列式中元素 12 31 33 a ,a ,a 的余子式和代数余子式。 （2） 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a 解： 12 a 的余子式 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = 和代数余子式 41 43 44 31 33 34 21 23 24 1 2 12 ( 1) a a a a a a a a a A + = − ， 31 a 的余子式 42 43 44 22 23 24 12 13 14 31 a a a a a a a a a M = 和代数余子式 42 43 44 22 23 24 12 13 14 3 1 31 ( 1) a a a a a a a a a A + = − ， 33 a 的余子式 41 42 44 21 22 24 11 12 14 33 a a a a a a a a a M = 和代数余子式 41 42 44 21 22 24 11 12 14 3 3 33 ( 1) a a a a a a a a a A + = − 。 2．用行列式的定义计算行列式 （5） 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 43 44 41 42 31 32 21 22 11 12 a a a a a a a a a a 解：由定义得 1 1 2 2 1 2 2 1 4 3 4 1 3 1 2 1 1 2 1 2 4 4 4 2 3 2 2 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ( 1) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a D = a + − = − + 。 4．证明 （2） ( )( )( )( ) 1 1 1 3 3 3 a b c a b a c c b a b c a b c = + + − − − ；
|x-10.0 0 0x-1.00 (4)::: =x”+a,x++an-x+an。 000.x-1 anan-lan-2.a2x+a 证明(2)：将行列式的第一列乘以-1加到第二、三列，得到 100 b-a c-a 左式ab-ac-aFb-ac2-ad =(b-ac3-a)-(c-ab3-a) la'b-a'c-a =右式。 (4)方法一：将行列式按第一列展开，得到 D。=an+xDn-=an+x(an-+xDn-2)+. x -1=xtax+a:' d.:D= |x-10.00 -1.0 0 所以：：：：：=x"+ax-+.+ax+a。 000.x aa-la-2.a2x+a 5.解方程 111. 11-x1.1 1=0 11 1.n-刘 111 1 0-x0. 0 解：因为行列式=0 0 1-x 0 =-x(1-x2-x)(n-1-x)=0, 0.n-1- 所以，方程的解为x=0,x2=1x=2,.x。=n-1· 6.计算下列行列式的值
（4） n n n n n n n x a x a x a a a a a x a x x x = + + + + + − − − − − − − 1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 。 证明（2）：将行列式的第一列乘以 -1 加到第二、三列，得到 左式= ( )( ) ( )( ) 1 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 b a c a c a b a b a c a b a c a a b a c a a b a c a r = − − − − − − − − − − − − − = =右式。 （4）方法一：将行列式按第一列展开，得到 Dn = an + xDn−1 = an + x(an−1 + xDn−2 ) + 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 , x a x a a x a x a a x a x x D D n n n n = + + + − = + + + + = − − − 而 ， 所以 n n n n n n n x a x a x a a a a a x a x x x = + + + + + − − − − − − − 1 1 1 1 2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 。 5．解方程 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ` = − − − n x x x 。 解：因为行列式 (1 )(2 ) ( 1 ) 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 = − − − − − = − − − − = x x x n x n x x x ， 所以，方程的解为 x1 = 0, x2 =1, x3 = 2, , xn = n −1 。 6．计算下列行列式的值
3111 (3) 1311 13 1113 611111111120g 131131-858 解：原式=631 1311 6020=48。 611311130002 b02 l-a a 0 001 -11-aa 0 0 (5)0-11-a a 0: 00-11-aa 0 o 0-11-a 解：按第一列展开，得D=(1-aD,+aD =I(1-a)2+aD3+a1-a)D2 =1-a1+a2)D2+a1-a+a2)D =1-a1+a2)[1-a)2+ad+a1-a+a21-a) =1-a+a2-a3+a-a 0 a3.a din 0 (7) . (n为奇数) am-a-a.0 -a1。 -a -an.-a-ln 0 解：Dn=D=(-l)”D.∴.D.=0。 111.1 120.00 (8) 0 103. h00. n-10 100.0 解：把第二列乘以-加到第一列，把第三列乘以-写加到第一列，.，把第刀 列乘以-片加到第一列，得
（3） 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 ； 解：原式= 48 0 0 2 0 2 0 2 0 0 6 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 1 1 1 1 6 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 6 6 1 1 3 6 1 3 1 6 3 1 1 6 1 1 1 = = = = 。 （5） a a a a a a a a a − − − − − − − − − 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ； 解：按第一列展开，得 5 4 3 D = (1− a)D + aD 2 3 4 5 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 (1 )(1 )[(1 ) ] (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) [(1 ) ] (1 ) a a a a a a a a a a a a a a a D a a a D a a D a a D = − + − + − = − + − + + − + − = − + + − + = − + + − （7） ( 为奇数)； 0 0 0 0 1 2 3 1, 1, 1 2, 1 3, 1 1, 1 2 2 3 2, 1 2 1 2 1 3 1, 1 1 n a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n − − − − − − − − − − − − − − − 解： = = (−1) n n = 0 T n Dn Dn D D 。 （8） ; 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 n n − 解：把第二列乘以 2 1 − 加到第一列，把第三列乘以 3 1 − 加到第一列，.，把第 n 列乘以 n 1 − 加到第一列，得
111 11.1 20.00 0 03.0 ξξ.： -分523-a-m=a0-背为 237 0 00.n-10 0 00.0m 注：该题目类型也是非常见的，好多行列式可以先转换为该类型，在进行计 算，如习题6(4)，6(6)等。 a-10.00 a -1.00 (10)ax2 ax a.00. r"ara-2.ad 解：把第rl列乘以加到第n列，第r2列乘以。加到第1列，把第 1列乘以1加到第2列，得 a a 0 0 .0 0 ax a+x 0 0 0 ax2 ax+x2 a+x .00=a-(a+x)。 m"ar"-+x”ar-2+x.ar+x2a+x 7.用克拉默法则求解下列方程组 +x3+.+xn=1 ax,+a,x,+.+a.x.=b (6) a+++=b2 。 +a+=b
) 1 3 1 2 1 ) 2 3 ( 1) !(1 1 3 1 2 1 (1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 n n n n n n n n = − − − − = − − − − − − − 注：该题目类型也是非常见的，好多行列式可以先转换为该类型，在进行计 算，如习题 6（4），6（6）等。 （10） 0 0. 1 0 0 1 0 0 0 1 2 2 ax ax ax ax a ax ax a ax a a n n n − − − − 解：把第 n-1 列乘以 a 1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以 a 1 加到第 n-1 列，., 把第 1 列乘以 a 1 加到第 2 列，得 1 1 2 1 2 2 2 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 − − − − = + + + + + + + + n n n n n n a a x ax ax x ax x ax x a x ax ax x a x ax a x a 。 7．用克拉默法则求解下列方程组 （6） + + + = + + + = + + + = + + + = − − −1 −1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x 。 解：
1 1. . D= a a=Π(a,-a) a- a 11 1 1 b D,= . =Πa,-b)a-a,): 11 1 1.1 a .bak .a。 .D= a .b2 a.ad(n之k≥2)， g.bg.g 由克拉默法则，得 (b-a Xb-a2).(b-a-X(ai-bXa:2-b)-(a-b) 飞=Da-aXa-4a-0.a-aa-g.a二a ,I≤k≤) 10.问元取何值时，齐次方程组 (5-1)x.+2x、+2x=0 2x,+(6-2)x2=0有非零解？ 2x+(4-)x3=0 5-122 解：26-10=(5-6-(4-)-46-)-4(4-)=0， 204-元 .1=2,5,或8时，方程组有非零解
( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 i j n i j n n n n n n a a a a a a a a a a a D = = − − − − ， ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 i j n i j i i n n n n n n a b a a b a a b a a b a a D = = − − − − − ， ( 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 = − + − − − + + n k a a b a a a a b a a a a b a a D n n n k n n n k n k n k ， 由克拉默法则，得 (1 ). ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 k n a a a a a a a a a a a a b a b a b a a b a b a b D D x k k k k k k k k n k k k k k n k − − − − − − − − − − − − = = − + + − + + 10．问 取何值时，齐次方程组 有非零解？ + − = + − = − + + = 2 (4 ) 0 2 (6 ) 0 (5 ) 2 2 0 1 3 1 2 1 2 3 x x x x x x x 解： (5 )(6 )(4 ) 4(6 ) 4(4 ) 0 2 0 4 2 6 0 5 2 2 = − − − − − − − = − − − ， = 2,5,或8 时，方程组有非零解