§1可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性，这是多 元函数微分学最基本的概念.然后给出对单 个自变量的变化率，即偏导数.偏导数无论 在理论上或在应用上都起着关键性的作用. 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件 四、可微性的几何意义及应用 前页
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一、可微性与全微分 定义1设函散z=f(x,y)在某邻域U(P)内有定 义.对子P(x,y)=(x+Dx,+Dy)iU(P),若f在 P的全增量Dz可表示为： Dz=f(xo+Dx,yo+Dy)-f(xo2yo) ADx+BDy+o(r), (1) 共中A,B是仅与点P,有关的常散，r=√Dx2+D2, 0(r)是r的高阶无另小量，则称f在点P,可傲. 并称(I)式中关子Dx,Dy的线性表达式ADx+BDy
前页 后页 返回 一、可微性与全微分 定义 1 设函数 内有定 义.对于 若 f 在 的全增量 (1) 其中A,B是仅与点 有关的常数, 的高阶无穷小量, 则称 f 在点 可微. 并称 (1) 式中关于
为f在P的全傲分，犯（作 dz le=df(xo2 yo)=ADx+BDy. (2) 电(1)，(2)可见，岁|Dx,|Dy|克分J时，全微分dz 可作为全馆量Dz的近似值，于是有近似公式： f(x,y)》f(x,y)+A(x-x)+B(y-y).(3) 在使用上，有时也把()式写成如下形式： D=ADx+BDy+a Dx+bDy, (4) 返里lima=limb=0. (D,Dy)®(0,0)(Dx,Dy)®(0,0) 前
前页 后页 返回 由 (1), (2) 可见,当 充分小时, 全微分 这里 (4) (2) 为 的全微分, 记作 可作为全增量 的近似值, 于是有近似公式: 在使用上, 有时也把 (1) 式写成如下形式： (3)
例1考察f(x,y)=xy在任一点(x,)的可微性. 解f在点(xo,y)处的全增量为 Df(xo2Fo)=(xo+Dx)(Jo+Dy)-xoYo =oDx+xoDy+DxDy. 由于IDxD=rDxI IDyL(0,) 因此DxDy=o(r)从而f在(K,J)可微，且 df=yoDx+xoDy. 前页
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二、偏导数 由一元函数傲分学知道：若f(x)在x可微，则 f(+Dx)-f(x)=ADx+o(Dx),其中A=f4x). 现在来对轮：省二元函数∫(K,y)在点(Xoy0)可傲 时，()式中的常数A,B应取怎样的值？ 为此在(4式中先令Dy=0(Dx10),这时得到f关 于x的偏增量为 D=ADx+aDx或 =A+· Dx
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