线性代数第一章 §5.4实对称矩阵的相似对角形 >一、实对称阵特征值特征向量的性质 >二、实对称矩阵对角化的方法 上页 下页 北返回 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 一、实对称阵特征值特征向量的性质 二、实对称矩阵对角化的方法 上页 下页 返回
线性代数第五章 实对称阵特征值特征向量的性质 上节讨论了一般矩阵与对角形矩阵的相似问 题，现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正 交矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似.为此，我们 首先证明下面三个引理， 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 一、实对称阵特征值特征向量的性质 上节讨论了一般矩阵与对角形矩阵的相似问 题，现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正 交矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似.为此，我们 首先证明下面三个引理
线性代数第五章 引理5.4.1实对称矩阵的特征值为实数 证明设复数！为对称矩阵的特征值，复向量x为 对应的特征向量，即 Ax=1xx10 用1表示l的共轭复数，表示x的共轭复向量， 则 Ax=Ax=(Ax)=(Ix)=1x. 转置右乘x:'Ax=x'Ix=Ix'x 由AK=IX,两边左乘配得影'Ax=x'lx=Ix'X 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 引理5.4.1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 转置右乘x: 由
线性代数第五章 上面两式相减，得 (0-l)x=0. 但由于x10, 所以 x=axx,=月x10D(-7)=0, i=1 i=1 即1=1，由此可得1是实数. 即：实对称矩阵的特征值为实数 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 上面两式相减，得 即：实对称矩阵的特征值为实数
线性代数第五章 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值对应的 特征向量是正交的. 证明设p1,P,分别是的不同的两个特征值11,1， 的特征向量，即 Ap=1 P,Ap2 =12P2,QA=Ag I p=(I P)=(Ap )pCAg=p.CA, 两边右乘p得：l1pp2=pAp2=p2P2=12P,p2, b(l1-12p,p2=0. Q11112,1p,p2=0.即p与p2正交. 版权所有：山东理工大学理学院
线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 证明 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值对应的 特征向量是正交的