第三节！ 函数的极限 函数极限的定义 二 函数极限的性质
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第三节 函数的极限 一、 函数极限的定义 二、 函数极限的性质
一、自变量趋于有限值时函数的极限 对y=f(x), (1)x→x0(2)x→x0 (3)x→x0 1.函数极限的定义 如果当x无限地接近于x时，函数x)的值无限地接近 于常数A,则常数A就叫做函数孔x)当x→x时的极限，记作 1imf八x)=A或fx)→A(当x→xo). 分析 x→x0 当x→x时，x)→A. 台当x-xo→0时，x)A-→0. 一当x-x小于某一正数后，x)-A能小于给定的正数&. 一任给>0，存在6>0，使当x-xl<6时，有x)A<G
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、自变量趋于有限值时函数的极限 如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地接近 于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限记作 1. 函数极限的定义 分析: 当x→x0时 f(x)→A 当|x-x0 |→0时 |f(x)-A|→0 当|x-x0 |小于某一正数d后 |f(x)-A|能小于给定的正数e 任给e 0 存在d 0 使当|x-x0 |d 时 有|f(x)-A|e 0 lim x→x f(x)=A 或 f(x)→A(当 x→ 0 x )
山东农业大 主计 本堂 定义1.设函数f(x)在点xo的某去心邻域内有定义 若V6>0,36>0,当0<x-x<6时，有f(x)-A<8 则称常数A为函数f(x)当x→x,时的极限，记作 limf(x)=A或f(x)→A(当x→xo) x→X0 即 limf(x)=A→8>0,36>0，当x∈U(xo,6) x→x0 时，有f(x)-A<8 几何解释： ↑y 这表明： 4+ f(x) A 极限存在 A-8 > 函数局部有界 (P36定理2) x,-6Xox0+δX
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 , e 0, d 0, 当 0 x − x0 d 时, 有 f (x) − A e 则称常数 A 为函数 当 时的极限, f x A x x = → lim ( ) 0 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: x0 +d A+e A−e A x0 x y y = f (x) 极限存在 函数局部有界 (P36定理2) 这表明:
注 1)8-6语言表述 1imf(x)=A=廿8>0,36>0，当x∈U(xo,δ) x→X0 时，有f(x)-A<6 2)0<x-x表示x≠xo,.x→x时f(x)有 无极限与f(x)有无定义没有关系 3)任意给定后，才能找到6,6依赖于8，一般的 ε越小，δ越小. 4)6不唯一，也不必找最大的，只要存在即可
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 注 1） e −d 语言表述 2） 0 x − x0 表示 x x0 , x → x0 时 f ( x) 有 3) e 任意给定后，才能找到d ， d 依赖于 e ，一般的 e 越小，d 越小. 4) d 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可. 当 时, 有 ( ) x0 无极限 与 f 有无定义没有关系
主计 、:苏本堂 例1证明imC=C,(C为常数) x→x0 证He>0,36>0,当0<x-x<6时， f(x)-A=|C-C=0<￡成立， .'lim C=C. x→x0 例2证明1imx=x: x→X0 证.f(x)-A=x-xo,Vε>0，取6=6， 当0<x-x<6=e时， f(x)-A=x-x,<E成立， .limx=xo. x→x0
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 lim . 0 C C x x = → lim . 0 0 x x x x = → 例1 lim , 0 C C x x = 证明 → (C为常数) 证 e 0, d 0, 当 0 x − x0 d 时, f (x) − A = C − C = 0e 成立, 例2 lim . 0 0 x x x x = 证明 → 证 ( ) , x A x x0 f − = − e 0, 取 d = e , − d = e 当 0 x x0 时, 0 f (x) − A = x − x e 成立