性质1向量组{,a2…a}中每一个向量a都可以 由这一组向量线性表示。 性质2若向量y可由向量组B,B2…,B线性表示, 而每一个B又都可以由向量a1,a2,…a线性表示,则 y可由a1,α2…a,线性表示。 性质3如果向量组{a1,a2…;a,}线性无关,则其任 部分向量组也线性无关。如果向量组{x1,a2…;an} 的一个部分组线性相关,那么整个向量组也线性相 关
性质2 若向量 可由向量组 1 ,2 , ,r 线性表示， 而每一个 i 又都可以由向量 s , , , 1 2 线性表示，则 可由 s , , , 1 2 线性表示。 1 ,2 , ,r 性质 i 1 向量组 中每一个向量 由这一组向量线性表示。 都可以 性质3 如果向量组 1 ,2 , ,r 线性无关，则其任一 部分向量组也线性无关。如果向量组 1 ,2 , ,r 的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相 关
即:整体无关→部分无关;部分相关→整体 相关。 性质4如果向量组{,a2…a线性无关而向量 组{x1,a2…;a,线性相关,那么一定可以由 向量组:a1,a2…,O,线性表示。 定理531向量a1,a2…,a、(≥2)线性相关分> 彐a可由其它向量线性表示。 证明略。(板书)
即：整体无关 部分无关；部分相关 整体 相关。 性质4 如果向量组 1 ,2 , ,r 线性无关，而向量 组 1 ,2 , ,r , 线性相关，那么 一定可以由 向量组： r , , , 1 2 线性表示。 定理5.3.1 向量 r , , , 1 2 (r 2) 线性相关 i 可由其它向量线性表示。 证明略。（板书）
定义53.3设{a1,a2…a{,B2…B是向量 空间V的两组个向量组。若每一个向量a, 都可以由月,B2…线性表示;而每一B也 可以由向量ax1,a2…a,线性表示。则称两向 量组等价
⚫ 定义5.3.3 设 和 是向量 空间 的两组个向量组。若每一个向量 都可以由 线性表示；而每一 也 可以由向量 线性表示。则称两向 量组等价。 i 1 ,2 , ,r 1 , 2 , , s V s , , , 1 2 i s , , , 1 2
定理5.32(替换定理)设向量组 (2) 线性无关,且每一C;均可由向量组: GB1,B2…,B, (3) 线性表示,则r<S.并且必要时可以对(3)式新 编号,使得用∝122…,《代替β,B,B后所得到 的向量组: F3/r+15 (4) 与(3)等价
定理5.3.2（替换定理）设向量组 ———（2） 线性无关，且每一 均可由向量组： ———（3） 线性表示，则 .并且必要时可以对（3）式新 编号，使得用 代替 后所得到 的向量组： ———（4） 与（3）等价。 1 ,2 , ,r i 1 , 2 , , s r s r , , , 1 2 r , , , 1 2 1 , 2 , , r , r+1 , , s
●证明=1时,因a1线性无关,故a1≠ 则存在一组不全为零的数a1,a2,…,a使得 a1=∑aB。不妨设a1≠0则B可由 B2 25 B线性表示。则{a1,B2,…,B,} (3)等价
⚫ 证明： 时，因 线性无关，故 ， 则存在一组不全为零的数 使得 = 。不妨设 ，则 可由 线性表示。则 （3）等价。 r = 1 1 1 0 a a as , , , 1 2 1 i s i ai =1 a1 0 1 r , , , 1 2 1 , 2 , , s