●现假设r>1并且定理对于(2)中含有r-1 个向量的情形成立。看(2)中含个向量的 情形。由于1,a2…;a,线性无关,所以由命 题3知,a,a2…也线性无关。于是根据归 纳法的假设,-1≤,并且可以认为,用 1a2,¨n代替(3)中前r-1个向量,得到 个与(3)等价的向量组: (a1,a2…,a,AB,B12…B.} (5)
⚫ 现假设 并且定理对于（2）中含有 个向量的情形成立。看(2)中含 个向量的 情形。由于 线性无关，所以由命 题3知， 也线性无关。于是根据归 纳法的假设， ，并且可以认为，用 代替（3）中前 个向量，得到 一个与（3）等价的向量组： ——（5） r 1 r −1 r r , , , 1 2 1 2 1 , , , r− r −1 s 1 2 1 , , , r− r −1 1 , 2 , , r−1 r , r+1 , , s
由于a.可以由(3)线性表示,所以由命6.32, 它也可以由与(3)等价的向量组(5)线性表 示。因此有 a,=∑aa+∑b月 (6) 如果所有的b都等于零,那么(6)式变为 a.Cl
由于 可以由（3）线性表示，所以由命6.3.2， 它也可以由与（3）等价的向量组（5）线性表 示。因此有 ———（6） 如果所有的 都等于零，那么（6）式变为 r = − = = + s j r j j r i r ai i b 1 1 j b − = = 1 1 r i r ai i
这就是说,C可以由a1,a2…On1线性表 示,矛盾。因此至少有一个b,≠0。这就 证明了r-1从而〃≤S。适当的 βB…B对编号,不妨假定b.≠于是 =2() C.+-.+ ∑(x)B
⚫ 这就是说， 可以由 线性表 示，矛盾。因此至少有一个 。这就 证明了 ，从而 。适当的 对编号，不妨假定 ，于是 r 1 2 1 , , , r− bj 0 r −1 s r s r r s , , , +1 br 0 = + − = = − + + − s j r j r j r r i r i r i r b b b b a 1 1 1 ( ) 1 ( )
●这就是说,B可以由向量组(4)线性表示 而向量组(5)除外月其余每一个向量 都在向量组(4)中出现,因此它们都可 以由(4)线性表示。这样,(5)的每 个向量都可以由(4)线性表示,另一方 面,(4)中除外,其余每一个向量都 在向量组(5)中出现,因此它们都可以 由(5)线性表示。而由等式(6)可知, 也可以由(5)线性表示
⚫ 这就是说， 可以由向量组（4）线性表示。 而向量组（5）除 外，其余每一个向量 都在向量组（4）中出现，因此它们都可 以由（4）线性表示。这样，（5）的每一 个向量都可以由（4）线性表示，另一方 面，（4）中除 外，其余每一个向量都 在向量组（5）中出现，因此它们都可以 由（5）线性表示。而由等式（6）可知， 也可以由（5）线性表示。 r r r r
●因此,(4)的每一个向量都可以由(5) 线性表示。这就证明了(4)与(5)等价, 而由归纳假设知,(5)与(3)等价,所 以(4)与(3)等价。 ●推论53.3两个等价的线性无关的向量组 含有相同个数的向量
⚫ 因此，（4）的每一个向量都可以由（5） 线性表示。这就证明了（4）与（5）等价， 而由归纳假设知，（5）与（3）等价，所 以（4）与（3）等价。 ⚫ 推论5.3.3 两个等价的线性无关的向量组 含有相同个数的向量