定理5.2.4向量空间的两个子空间W与W2的和 W+形2是v的子空间。 两个子空间和的慨念也可以推广到任意有限多 个子空间的情形。设,H,…,W是V的子空间,容 易证明,一切形如∑∈的向量作成的一个子 空间。这个子空间称为子空间W,…,W的和,并且 用符号W+m2…+来表示
V W1 W2 W1 +W2 V 定理5.2.4 向量空间 的两个子空间 与 的和 是 的子空间。 W1，W2，，Wn V i W n i i = , 1 V W1，W2，，Wn W1 +W2 +Wn 两个子空间和的慨念也可以推广到任意有限多 是 的子空间，容 的向量作成 的一个子 的和，并且 来表示。 个子空间的情形。设 易证明，一切形如 空间。这个子空间称为子空间 用符号
例子 例1向量空间总是它自身的一个子空间.另 方面,单独一个零向量所成的集合显然对于r的加法 和量与向量的数乘封闭的因而也是v的一个子空间, 称为零空间 个向量空间本身和零空间叫做的平凡子空间 的非平凡子空间叫做〃的真子空间
例子 V V 的平凡子空间。 V V 一个向量空间 本身和零空间叫做 的非平凡子空间叫做 的真子空间． V 0 V V 例1 向量空间 总是它自身的一个子空间.另一 显然对于 的加法 的一个子空间, 方面,单独一个零向量所成的集合 和量与向量的数乘封闭的,因而也是 称为零空间
例2数域F上的齐次线性方程组AX=0的解向量全体 xAx=0x∈是F的子空间。 例3F中一切形如(ar,a…an,0a∈F的向量作成F 的一个子空间。 例4F中次数不超过一个给定的整数m的多项式全 体连同零多项式一起作成F的一个子空间 例5闭区间上一切可微分函数作成Cb]的一个 子空间 课堂练习:WW2=H+形2={4+a2k∈环a∈H}作图解释这 两种运算
是 F AX = 0 2 X AX = 0, X F 2 F 例2 数域 上的齐次线性方程组 的解向量全体 的子空间。 n F （1， 2， n−1 ,0), i F n 例 F 3 中一切形如 的向量作成 的一个子空间。 Fx n 的多项式全 Fx 例4 中次数不超过一个给定的整数 体连同零多项式一起作成 的一个子空间。 例5 闭区间 a,b 上一切可微分函数作成 Ca,b 的一个 子空间 课堂练习： W1 W2 =？ W1 +W2 = 1 +2 1 W1 ,2 W2 作图解释这 两种运算
§53向量的线性相关性(4课时) ●教学目标 理解向量线性相关的定义及性质并能熟练 判定一个向量组的线性相关性。 ●教学重点:向量线性相关的应用 ●教学难点:向量线性相关的判断
§5.3 向量的线性相关性(4课时) ⚫ 教学目标 理解向量线性相关的定义及性质并能熟练 判定一个向量组的线性相关性。 ⚫ 教学重点：向量线性相关的应用。 ⚫ 教学难点：向量线性相关的判断
§5.3向量的线性相关性 定义、定理与性质 定义5.3.1设a1,a2…a是向量空间的r个向量,a 是数域F中任意r个数。称和:41+aa1+…+aa,叫做向量 a1a2…a,的一个线性组合。若存在向量使得 B a,a +a 2 a,+…+a 则称向量B可由向量组a,a2线性表示。 定义5.3.2设a1,a2…a是向量空间v的r个向量,如 果存在F中不全为零的数a1a2…a使: 1C1 称向量a,a2线性相关。否则称a1a2…a线性无关
§5.3 向量的线性相关性 一、定义、定理与性质 使得 r , , , 1 2 V r a a ar , , , 1 2 F r 定义5.3.1 设 是向量空间 的 个向量， 是数域 中任意 个数。称和： a1 1 + a2 2 ++ ar r r , , , 1 2 叫做向量 的一个线性组合。若存在向量 = a1 1 + a2 2 ++ ar r r , , , 则称向量 可由向量组 1 2 线性表示 。 1 1 2 2 0 r r a a a + + + = r , , , 称向量 1 2 线性相关。否则称 1 ,2 , ,r 线性无关。 中不全为零的数 r , , , 1 2 V r F a a ar , , , 1 2 定义5.3.2 设 是向量空间 的 个向量，如 果存在 使：