例子 例1、对固定A∈c"取V={x∈C"AX=引数域为C ,并定义: VX=(x1,x2,…xn)Y=(y1y2…,yn)sa∈(有 X+Y=(x1+y1,x2+y2,…,x+)aX 上的向量空间。n 则.于这个加法和数乘构成复数域C
例子 m n A C V = X C AX = 0 n 例1、对固定 ，取 ，数域为 C ，并定义： X = (x1 , x2 , , xn ),Y = (y1 , y2 , , yn ) ， V aC 有： ( , , , ) 1 1 2 2 n n X +Y = x + y x + y x + y ( , , , ) ， aX = ax1 ax2 ax 。 n 则 关于这个加法和数乘构成复数域 V C 上的向量空间
§52、子空间 ●教学目标 了解子空间的内涵并会判断一个子空间 ●教学重点 子空间的定义及其判断 ●教学难点 子空间的性质及其应用
§5.2、子空间 ⚫ 教学目标 了解子空间的内涵并会判断一个子空间. ⚫ 教学重点 子空间的定义及其判断. ⚫ 教学难点 子空间的性质及其应用
§5.2、子空间 、子空间的定义和判定 定义5.2.1设是数域F上的一个向量空间,W是 的一个非空子集。如果W对于V的加法和数量乘法也 构成数域F上的向量空间,则称W是的一个子空间 定理5.2.1设W是数域F上向量空间的非空子集。 则形是的子空间的充分必要条件是: 1)va,B∈W有a+B∈W(W关于V的加法封闭) 2)k∈F,va∈W有k∈H(W关于中向量的数 乘封闭)
§5.2、子空间 一、子空间的定义和判定 构成数域 定义5.2.1 设 F 上的一个向量空间， 的一个非空子集。 对于 W V W V F W V V 是数域 是 的加法和数量乘法也 上的向量空间，则称 是 的一个子空间。 如果 1) , W 有 + W ( W 关于 V 的加法封闭)； W F V W V 定理5.2.1 设 是数域 上向量空间 的非空子集。 则 是 的子空间的充分必要条件是： 2) k F, W 有 k W （ W 关于 V 中向量的数 乘封闭）
定理5.2.2数域止向量空间v中的一个非空子集是 的一个子空间→vab∈FVaB∈W有a+bB∈W 二、子空间的交与和
F V V a,b F,, W a b W + . 定理5.2.2 数域 上向量空间 中的一个非空子集是 的一个子空间 有 二、子空间的交与和
定理5.2.3向量空间V的两个子空间WW的交 W∩2是的一个子空间。 一般,设W}是向量空间v的一组子空间(个数 可以有限,也可以无限),令表示这些子空间的 交,可以证明,W也是v的一个子空间。向量空间 V的两个子空间W与形的并集,一般来说不是子空间。 称的子集:W+形2={1+a14∈W,a2∈}为W与的和
V V W1，W2 W1 W2 定理5.2.3 向量空间 的两个子空间 的交 是 的一个子空间。 的一组子空间（个数 的一个子空间。向量空间 的并集，一般来说不是子空间。 Wi V i i W i i W V V W1与W2 V W1 +W2 = 1 +2 1 W1，2 W2 W1与W2 一般，设 是向量空间 表示这些子空间的 也是 的两个子空间 的子集： 为 的和 可以有限，也可以无限），令 交，可以证明 ， 称