假定:各个水平AG=1,2…,)下的样本XyNy ●●● Xn来自具有相同方差2,均值分别为;G=1, 2,,的正态总体N(202),p1与a未知且设不 同水平A1下的样本之间相互独立 由于X~N202即有x4N0,o),故X 可看成随机误差记XH=E则 出+E En~N(0,a2),各;独立 (1.1) i=1,2,…,n;j=1,2,…
12 假定:各个水平Aj (j=1,2,...,s)下的样本X1j ,X2j ... , ( 1, 2 Xn j j j = j 来自具有相同方差 均值分别为m (1.1) 1,2, , , 1,2, , , ~ (0, ), , 2 = = = + i n j s N X j i j i j i j j i j 各 独 立 m 2,...,s)的正态总体N(mi ,2 ), mi与2未知. 且设不 同水平Aj下的样本之间相互独立. 由于Xij~N(mj ,2 ), 即有Xij-mj~N(0,2 ), 故Xij-mj 可看成随机误差. 记Xij-mj=ij, 则
其中与均为未知参数,(11)式称为单因素 试验方差分析的数学模型.这是本节研究的对 象 方差分析的任务是对于模型(1.1) 1°检验个总体N(1,03),…N(,2)的均值是 否相等,即检验假设 H:1=2=…= 2作出未知参数A4142…,的然9 H1:12…,不全相等
13 其中mj与2均为未知参数, (1.1)式称为单因素 试验方差分析的数学模型. 这是本节研究的对 象. 方差分析的任务是对于模型(1.1), 1º检验s个总体N(m1 ,2 ),...,N(ms ,2 )的均值是 否相等, 即检验假设 H0 :m1=m2=...=ms , H1 :m1 ,m2 ,...,ms不全相等. (1.2) 2º作出未知参数m1 ,m2 ,...,ms , 2的估计
为了将问题(12)写成便于讨论的形式,令 n=n1+n2+…+n,再令 (13) 1称为总平均再引入 厂 99···99 (14) 此时有n141+n2+…+n0,4表示水平4下的 总体平均值与总平均的差异,习惯上将δ称为 水平A的效应
14 为了将问题(1.2)写成便于讨论的形式, 令 n=n1+n2+...+ns , 再令 , (1.3) 1 1 = = s j nj j n m m m称为总平均. 再引入 dj=mj-m, j=1,2,...,s, (1.4) 此时有n1d1+n2d2+...+nsds=0, dj表示水平Aj下的 总体平均值与总平均的差异, 习惯上将dj称为 水平Aj的效应
利用这些记号,模型(1.1)可改写成 u+8;+Ei? 6n~N(0,a2),各独立 i=1,2,…,n;j=1,2,…,s, (1.1)y 而假设(12)等价于假设 H0:C1=a2=…==0 H1:,a2,…,不全为零 (1.2)
15 利用这些记号, 模型(1.1)可改写成 (1.1)' 0. 1,2, , , 1,2, , , ~ (0, ), , , 1 2 = = = = + + = s j j j j i j i j i j j i j n i n j s N X d m d 各 独 立 而假设(1.2)等价于假设 H0 :d1=d2=...=ds=0, H1 :d1 ,d2 ,...,ds不全为零. (1.2)
(二)平方和的分解引入总偏差平方和 r=∑∑(Xn-X)2 (15) 其中X= (16) n i=l i=1 是数据的总平均S能反映全部试验数据之间 的差异,因此Sr又称为总变差又记水平A下 的样本平均值为X,即 (1.7)
16 (二)平方和的分解 引入总偏差平方和 (1.6) 1 ( ) . (1.5) 1 1 1 1 2 = = = = = = - n j n i i j s j n i T i j j j X n X S X X 其 中 . (1.7) 1 1 = • = nj i i j j j X n X 是数据的总平均. ST能反映全部试验数据之间 的差异, 因此ST又称为总变差. 又记水平Aj下 的样本平均值为`X•j , 即