深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 §4 相互独立的随机变量 §5 两个随机变量的函数的分布

§4相互独立的随机变量

2 §4 相互独立的随机变量

定义设F(xy)及F(x),F1()分别是二维随机变 量(X,Y的分布函数及边缘分布函数.若对于 所有x,y有 P(XSr, Y<y =P(X<x p(Ysy,,(4.1) 即F(x,y)=F(x)F0y) (4.2 则称随机变量λ和V是相互独立的

3 定义 设F(x,y)及FX (x),FY (y)分别是二维随机变 量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数. 若对于 所有x,y有 P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy}, (4.1) 即 F(x,y)=FX (x)FY (y), (4.2) 则称随机变量X和Y是相互独立的

设(X,Y)是连续型随机变量,f(xy),f(x),f()分 别为(X,的概率密度和边缘概率密度,则X和 Y相互独立的条件(42)等价于 fx,y)=(x)/(y) (4.3) 几乎处处成 注:此处"几乎处处成立"的含义是:在平面上 除去"面积"为零的集合以外,处处成立

4 设(X,Y)是连续型随机变量, f(x,y), fX (x), fY (y)分 别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度, 则X和 Y相互独立的条件(4.2)等价于 f(x,y)=fX (x)fY (y) (4.3) 几乎处处成立. 注: 此处"几乎处处成立"的含义是: 在平面上 除去"面积"为零的集合以外, 处处成立

当(x,是离散型随机变量时,X和Y相互独立 的条件(4,2)式等价于:对于(X,Y)的所有可能取 的值(x2y)有 P{X=x1,}=P=x1P{=.(4.4)

5 当(X,Y)是离散型随机变量时, X和Y相互独立 的条件(4.2)式等价于: 对于(X,Y)的所有可能取 的值(xi ,yj )有 P{X=xi ,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}. (4.4)

例如§1例2中的随机变量X和Y,由于 2e (2x+y) x>0,1>0 f(,v)= 0 其它 2e2x,x>0. f(x)= 0.其 了fy(x) e,y>0, 0 其它, 故有f(x2y)=/(x)/(y),因而X,Y是相互独立的

6 例如 §1例2中的随机变量X和Y, 由于 故有 f(x,y)=fX (x)fY (y), 因而X,Y是相互独立的.     =     =      = − − − + 0, , e , 0, ( ) 0, , 2e , 0, ( ) 0, . 2e , 0, 0, ( , ) 2 (2 ) 其它 其它 其它 y f x x f x x y f x y y Y x X x y