深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 随机变量的数字特征 §3 协方差及相关函数 §4 矩、协方差矩阵

例1设随机变量X具有数学期望E(X)=4方差 D(X)=a3≠0.记X=(x1)a 则E(X)=E(X-1)=[E(X)-A=0; D(X)=E(X"2)-[E(x')2=E X-u E[(X-1)]= 即x=x=/的数学期望为0.方差为 称X*为X的标准化变量

2 例1 设随机变量X具有数学期望E(X)=m, 方差 D(X)=s20. 记X *=(X-m)/s . 0, 1. [( ) ] 1. 1 ( ) ( ) [ ( )] * 2 2 2 2 2 * *2 * 2 即 的数学期望为 方差为 s m s s m s s m - = = - = =               - = - = X X E X X D X E X E X E [ ( ) ] 0; 1 ( ) 1 ( ) * = - = - m = s m s 则 E X E X E X 称X *为X的标准化变量

例2设随机变量X具有(0-1)分布,其分布律为 P{X=0}=1-p,P{X=1}=p 求D(X 解E()=0×(1-p)+1xp=p E(2)=02×(1-p)+12×p=p 由24)式 D(X)=E(2)-[E(O]2p-p2=p(1-p)

3 例2 设随机变量X具有(0-1)分布, 其分布律为 P{X=0}=1-p, P{X=1}=p. 求D(X). 解 E(X)=0(1-p)+1p=p, E(X2 )=02(1-p)+12p=p. 由(2.4)式 D(X)=E(X2 )-[E(X)]2=p-p 2=p(1-p)

例3设X(4)求D(X) 解X的分布律为 e PX=k=h!,k=0,1 2 1>0. 上节例6已算得E(X)=4,而 E(H2)=EX(x-1)+=EX(x-1)+E() k-元 k k(k-1) !+=2el (k-2) =2ee1+42+ 所以D()=E(2)[E()2=2

4 例3 设X~p(l), 求D(X). 解 X的分布律为 , 0,1,2, , 0. ! e { = } = =  - l l l k  k P X k k l l l l l l l + - = - + =   = - -  = - 2 2 2 0 ( 2)! e ! e ( 1) k k k k k k k k 上节例6已算得E(X)=l, 而 E(X2 )=E[X(X-1)+X]=E[X(X-1)]+E(X) =l 2e -l e l+l=l 2+l. 所以 D(X)=E(X2 )-[E(X)]2=l

例4设XU(a,b),求D(X) 解Ⅺ的概率密度为 f(x)=b-a a<x<b 其它. 上节例7算得E(X) atb 方差为 D(X)=E(Y2)-[E(X)2 a+b.(6-a dx b-a

5 例4 设X~U(a,b), 求D(X). 解 X的概率密度为 12 ( ) 2 d 1 ( ) ( ) [ ( )] . 2 7 ( ) 0, . , . 1 ( ) 2 2 2 2 2 a b b a x b a x D X E X E X a b E X a x b f x b a b a -  =      + - - = = - + =       = -  上节例 已算得 方差为 其它

例5设随机变量服从指数分布,其概率密度 为 x/0 f(x)=16 x>0 x<0 其中0-0,求E(1),D(X) 解 E(X)= xf(x)dx=l xdedx 0 -x/6 -x/ -re +|e dx=0

6 例5 设随机变量X服从指数分布, 其概率密度 为       = - 0, 0. e , 0, 1 ( ) / x x f x x   e e d , e d 1 ( ) ( )d 0 / 0 / 0 / |      = - + = = =     -  -  -  - x x E X x f x x x x x x x 其中>0, 求E(X), D(X). 解