复变函数
2 复变函数
第一章复数与复变函数 §1复数及代数运算
3 第一章 复数与复变函数 §1 复数及代数运算
1.复数的概念 在实数范围,方程 是无解的.因此引进一个新数讠,称为虚数单位, 并规定 12=-1 从而i是方程x2=-1的一个根 对于任意二实数x,y,称z=x+i或z=x+y为复数, 分别称为z的实部和虚部,记作 x Re(z),y=Im(z)
4 1. 复数的概念 在实数范围, 方程 x 2=-1 是无解的. 因此引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定 i 2 =-1 从而i是方程x 2=-1的一个根. 对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x=Re(z), y=Im(z)
当x=0,y≠0时,z=称为纯虚数;当y0时z=x+0, 将其看作是实数x 两个复数相等,是指的它的实部和虚部分别相 等.复数z=0,是指的实部和虚部都是0 2.复数的代数运算两个复数z1x1+iyn, 2=x2+iy2的加法,减法和乘法定义为 (x1+iy1)+(x2+iy2)=(x1+x2)+1(y1+y2)(1.1.1) (x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) (1.1.2) 称上面二式右端为z1z2的和,差与积 当z12为实数时,上二式与实数的运算一致
5 当x=0,y0时, z=iy称为纯虚数; 当y=0时z=x+0i, 将其看作是实数x. 两个复数相等, 是指的它的实部和虚部分别相 等. 复数z=0, 是指的实部和虚部都是0. 2. 复数的代数运算 两个复数z1 =x1+iy1 , z2 =x2+iy2的加法, 减法和乘法定义为 (x1+iy1 )(x2+iy2 )=(x1x2 )+i(y1y2 ) (1.1.1) (x1+iy1 )(x2+iy2 )=(x1 x2-y1 y2 )+i(x2 y1+x1 y2 ) (1.1.2) 称上面二式右端为z1 ,z2的和,差与积 当z1 ,z2为实数时, 上二式与实数的运算一致
称满足 (z2≠0 的复数z=x+iy为z1除以z2的商, 记作z=4,因此 2+12次21-xy Iix2tViy (1.1.3) 复数运算满足交换律,结合律和分配律: 1+(z2+z3)(z1+2)+23),z1(z23)=(z12)z3; 1(z2+z3)=z12+2123
6 称满足 z2 z=z1 (z20) 的复数z=x+iy为z1除以z2的商, (1.1.3) , 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 x y x y x y i x y x x y y z z z z z z + - + + + = = 记作 = 因此 复数运算满足交换律,结合律和分配律: z1+z2 =z2+z1 , z1 z2 =z2 z1 ; z1+(z2+z3 )=(z1+z2 )+z3 ), z1 (z2 z3 )=(z1 z2 )z3 ; z1 (z2+z3 )=z1 z2+z1 z3