§3初等函数
2 §3 初等函数
1,指数函数希望能够在复平面内定义一个函 数(z)具有实函数中的指数函数e的三个性质: i)f(z)在复平面内解析; i)∫(z)=f(z) ⅲ)当Im(z)=0时,z)=e,其中x=Re(z) 前面的例1中已经知道,函数 f(z=e(cos y+i sin y) 是一个在复平面处处解析的函数,且有 f(z)=f(z),当y=0时,f(z)=e.fz)称为指数函数 记作expz=e(cosy+ tSIn y).(2.3.1) 等价于关系式:|expz=e, Arg(exp z)=y+2kT(2.3.2)
3 1, 指数函数 希望能够在复平面内定义一个函 数f(z)具有实函数中的指数函数e x的三个性质: i) f(z)在复平面内解析; ii) f '(z)=f(z) iii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex , 其中x=Re(z) 前面的例1中已经知道, 函数 f(z)=ex (cos y+i sin y) 是一个在复平面处处解析的函数, 且有 f '(z)=f(z), 当y=0时, f(z)=ex . f(z)称为指数函数. 记作 exp z=ex (cos y+isin y). (2.3.1) 等价于关系式: |exp z|=ex , Arg(exp z)=y+2kp (2.3.2)
由(2.32)中的第一式可知 expz≠0 跟e一样,expz也服从加法定理: exp z exp z2=exp(z1+)(2.3.3) 事实上 ,女21=x1+i 按定义有 exp z, exp z2=e"(cos y, +isn y,) Xe(cos y2 +isin y2) e1T[(cos y, cos y,-sin yi sin y2) +i(sin y, cos y2+cos y, sin y2)I =eta2 [cos(,+y2)+isin(yi +y2)I exp(z+z2)
4 由(2.3.2)中的第一式可知 exp z0. 跟e x一样, exp z也服从加法定理: exp z1•exp z2 = exp(z1+z2 ) (2.3.3) 事实上, 设z1 =x1+iy1 , z2 =x2+iy2 , 按定义有 exp( ) e [cos( ) sin( )] (sin cos cos sin )] e [(cos cos sin sin ) e (cos sin ) exp exp e (cos sin ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 z z y y i y y i y y y y y y y y y i y z z y i y x x x x x x = + = + + + + + = − + = + + +
鉴于expz满足条件ⅲ,且加法定理也成立,为 了方便,往往用e代替expz.但是必须注意,这 里的e没有幂的意义,仅仅作为代替expz的符 号使用,因此我们就有 e=e(cos y+isin y) (2.34 特别,当x=0时,有 el=cos y+isin y (23.5) 由加法定理,我们可以推出expz的周期性,它 的周期性是2ki,即 e+2kui-ee2kzi 其中为任何整数
5 鉴于exp z满足条件iii), 且加法定理也成立, 为 了方便, 往往用e z代替exp z. 但是必须注意, 这 里的e z没有幂的意义, 仅仅作为代替exp z的符 号使用, 因此我们就有 e z=ex (cos y+isin y) (2.3.4) 特别, 当x=0时, 有 e iy=cos y+isin y (2.3.5) 由加法定理, 我们可以推出exp z的周期性, 它 的周期性是2kpi, 即 e z+2kpi=eze 2kpi=ez 其中k为任何整数
2对数函数对数函数定义为指数函数的反函 数.将满足方程 e=z (z≠0) 的函数w=/(z)称为对数函数令w=+iv,z=re, au+Iv=re e 所以=nr,. 因此W=2+irgz 由于Argz为多值函数,所以对数函数=(2)为 多值函数,并且每两个值相差2π-整数倍,记 作 Ln z=Inz+iArg z (236)
6 2.对数函数 对数函数定义为指数函数的反函 数. 将满足方程 e w=z (z0) 的函数w=f(z)称为对数函数. 令w=u+iv, z=re iq , 则 e u+iv=re iq , 所以 u=ln r, v=q. 因此 w=ln|z|+iArg z 由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z)为 多值函数, 并且每两个值相差2pi的整数倍,记 作 Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)