深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量及其概率密度 §5 随机变量的函数的分布

例2一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶 上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面 积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着 点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数 解若x<0,则{Kx}是不可能事件,于是 F(x=PX<x =0 若0≤x≤2,由题意,P(0≤Kx}=kx2,k是某一常数, 为了确定k的值,取x=2,有P{0≤K2}=22.但已 知P{0≤K<2}=1,故得k=1/4,即 P{0≤X≤x}=

2 例2 一个靶子是半径为2米的圆盘, 设击中靶 上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面 积成正比, 并设射击都能中靶, 以X表示弹着 点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数. 解 若x<0, 则{Xx}是不可能事件, 于是 F(x)=P{Xx}=0. 若0x2, 由题意, P{0Xx}=kx2 , k是某一常数, 为了确定k的值, 取x=2, 有P{0X2}=22k. 但已 知P{0X2}=1, 故得k=1/4, 即 . 4 {0 } 2 x P  X  x =

于是 F(x)=P{X≤x}=P{X<0}+P{0≤X≤x} 若x≥2,由题意{Kx}是必然事件,于是 F(x)=P{K≤x}=1 综上所述,即得x的分布函数为 0 x<0 F(x)={x2/4,0≤x<2, x≥2

3 于是         = 1, 2. / 4, 0 2, 0, 0, ( ) 2 x x x x F x 若x2, 由题意{Xx}是必然事件, 于是 F(x)=P{Xx}=1. 综上所述, 即得X的分布函数为 . 4 ( ) { } { 0} {0 } 2 x F x = P X  x = P X  + P  X  x =

它的图形是一条连续曲线如图所示 x<0 F(x)={x2/4,0≤x<2 x≥2 F() 1/2 O123

4 它的图形是一条连续曲线如图所示         = 1, 2. / 4, 0 2, 0, 0, ( ) 2 x x x x F x 1 2 3 x 1/2 1 O F(x)

另外,容易看到本例中的分布函数F(x)对于任 意x可以写成形式 F(x)= f(t)dt, 其中 f(t)=12 0<t<2. 0,其它 这就是说,F(x)是非负函数1)在区间(∞x)上 的积分,在这种情况下我们称X为连续型随机 变

5 另外, 容易看到本例中的分布函数F(x)对于任 意x可以写成形式 ( ) ( )d , − = x F x f t t       = 0, . , 0 2, ( ) 2 其它 t t f t 这就是说, F(x)是非负函数f(t)在区间(−,x)上 的积分, 在这种情况下我们称X为连续型随机 变量. 其中

对照x)和F(x) F(x) l/2 O 123 f(r) 1/2 O 123

6 对照f(x ) 和 F(x): 1 2 3 x 1/21O F(x )1 2 3 x 1/21O f(x )