将S写成 (Xn-X.,)+(X,-X)2 ∑∑(X-x.)2+∑∑(x-x)2+ j=1i=1 +2∑∑(X-k.)X,-X 注意最后一项交叉项等于0
17 将ST写成 2 ( )( ). ( ) ( ) [( ) ( )] 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 = = • • = = • = = • = = • • + - - = - + - + = - + - s j n i i j j j s j n i j s j n i i j j s j n i T i j j j j j j j X X X X X X X X S X X X X 注意最后一项交叉项等于0
即交叉项为 ∑(Xn-x,)X-X) =2>(x,-X∑(X-x,) =2∑(x,-X∑X-nx,=0
18 即交叉项为 2 ( ) 0 2 ( ) ( ) 2 ( )( ) 1 1 1 1 1 1 = = - - = - - - - = • = • = = • • = = • • s j j j n i j i j s j n i j i j j s j n i i j j j X X X n X X X X X X X X X j j j
于是将S分解成为 S=S+s T E A (18) 其中SE=∑∑(Xn-x,),(.9) j=1i=1 S4=∑∑(X,-X)2=∑n(x,-X) =∑nk-nX2 (1.10
19 于是将ST分解成为 . (1.10) ( ) ( ) ( ) , (1.9) , (1.8) 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 n X nX S X X n X X S X X S S S s j j j s j j j s j n i A j s j n i E i j j T E A j j = - = - = - = - = + = • = • = = • = = 其 中 •
上述SE的各项(XX)2表示在水平4下,样 本观察值与样本均值的差异,这是由随机误差 所引起的.SE叫做误差平方和.S的各项 n(XX)2表示4水平下的样本平均值与数 据总平均的差异这是由水平A的效应的差异 以及随机误差引起的SA叫做因素A的效应平 方和.(1.8)式就是我们所需要的平方和分解式
20 上述SE的各项(Xij-`X•j ) 2表示在水平Aj下, 样 本观察值与样本均值的差异, 这是由随机误差 所引起的. SE叫做误差平方和. SA的各项 nj (`X•j-`X) 2表示Aj水平下的样本平均值与数 据总平均的差异. 这是由水平Aj的效应的差异 以及随机误差引起的. SA叫做因素A的效应平 方和. (1.8)式就是我们所需要的平方和分解式
)SE2SA的统计特性为了引出检验问题 (12的检验统计量,先讨论SE2SA的特性,因 E=∑(Xn-X)+…+∑(X-X)2(1.) 注意∑(X-X,)是总体N1,2样本方差 i=1 的n-1倍,于是有 ∑(Xn-x,)2o2~x2(m1-1
21 (三) SE ,SA的统计特性 为了引出检验问题 (1.2)'的检验统计量, 先讨论SE ,SA的特性, 因 注 意 ( ) 是总体 ( , )的样本方差 ( ) ( ) (1.11) 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 m j n i i j j n i i s s n i E i X X N S X X X X j s = • = • = • - = - ++ - ( ) ~ ( 1). 2 2 1 2 - - = • j n i Xi j X j n j 的nj-1倍, 于是有