第十二章平稳随机过程 §1平稳随机过程的概念
2 第十二章 平稳随机过程 §1 平稳随机过程的概念
有这样重要的一类随机过程,即所谓平稳随机 过程,它的特点是:过程的统计特性不随时间 的推移而变化严格地说,如果对于任意的 n(=1,2,…),t1,t ∈T时,n维随机变量 X(t1),X(t2),…X(tn) 和(Y(t1+h),X(2+h)…,Y(tn+h) (1.1) 具有相同的分布函数,则称随机过程{X(, t∈仍}具有平稳性,并同时称此过程为平稳随机 过程,或简称平稳过程
3 有这样重要的一类随机过程, 即所谓平稳随机 过程, 它的特点是: 过程的统计特性不随时间 的推移而变化. 严格地说, 如果对于任意的 n(=1,2,...),t1 ,t2 ,...,tnT时, n维随机变量 (X(t1 ),X(t2 ),...,X(tn )) 和 (X(t1+h),X(t2+h),...,X(tn+h) (1.1) 具有相同的分布函数, 则称随机过程{X(t), tT}具有平稳性, 并同时称此过程为平稳随机 过程, 或简称平稳过程
平稳过程的参数集T,一般为(-0。),0,∞),、{0, ±1,±2,…}或{0,1,2,}当定义在离散参数集上 时,也称过程为平稳随机序列或平稳时间序列 以下若无特殊声明,均认为参数集 T=(-0,0) 在实际问题中,确定过程的分布函数,并用它 来判定其平稳性,一般是很难办到的但是,对 于一个被研究的随机过程,如果前后的环境和 主要条件都不随时间的推移而变化,则一般就 可以认为是平稳的
4 平稳过程的参数集T, 一般为(-,),[0,), {0, 1, 2, ...}或{0,1,2,...}. 当定义在离散参数集上 时, 也称过程为平稳随机序列或平稳时间序列. 以下若无特殊声明, 均认为参数集 T=(-, ). 在实际问题中, 确定过程的分布函数, 并用它 来判定其平稳性, 一般是很难办到的. 但是, 对 于一个被研究的随机过程, 如果前后的环境和 主要条件都不随时间的推移而变化, 则一般就 可以认为是平稳的
恒温条件下的热噪声电压过程以及第十章§1 例2,例3都是平稳过程的例子.强震阶段的地 震波幅,船舶的颠簸过程,照明电网中电压的 波动过程以及各种噪声和干扰等等在工程上 都被认为是平稳的 与平稳过程相反的是非平稳过程.一般随机 过程处于过渡阶段时总是非平稳的例如,飞 机在平稳飞行时高度的上下波动可看作是平 稳的.但是在起飞和降落过程当然不是平稳的 当仅仅考虑过程的平稳阶段时,为了数学处理 的方便,经常将时间范围取为-∞<∞
5 恒温条件下的热噪声电压过程以及第十章§1 例2,例3都是平稳过程的例子. 强震阶段的地 震波幅, 船舶的颠簸过程, 照明电网中电压的 波动过程以及各种噪声和干扰等等在工程上 都被认为是平稳的. 与平稳过程相反的是非平稳过程. 一般, 随机 过程处于过渡阶段时总是非平稳的. 例如, 飞 机在平稳飞行时高度的上下波动可看作是平 稳的. 但是在起飞和降落过程当然不是平稳的. 当仅仅考虑过程的平稳阶段时, 为了数学处理 的方便, 经常将时间范围取为-<t<
设平稳过程X(0的均值函数EX(O存在,对 n=1,在(1,1)式中,令h=-t,由平稳性定义,一维 随机变量X(41)和X(0)同分布.于是 E[X()=EX(0,即均值函数必为常数,记为 x同样,X(的均方值函数和方差函数亦为 常数,分别记为Yx2和a2.据此可知,平稳过程 的所有样本曲线都在水平直线x(0)=4上下波 动,平均偏离度为σx
6 设平稳过程X(t)的均值函数E[X(t)]存在, 对 n=1, 在(1,1)式中, 令h=-t, 由平稳性定义, 一维 随机变量X(t1 )和X(0)同分布. 于是 E[X(t)]=E[X(0)], 即均值函数必为常数, 记为 mX . 同样, X(t)的均方值函数和方差函数亦为 常数, 分别记为YX 2和sX 2 . 据此可知, 平稳过程 的所有样本曲线都在水平直线x(t)=mX上下波 动, 平均偏离度为sX