§4洛朗级数
2 §4 洛朗级数
个以z为中心的圆域内解析的函数f(z),可以 在该圆域内展开成z-z0的幂级数如果(z)在z0 处不解析,则在z的邻域内就不能用z-z0的幂 级数来表示.但是这种情况在实际问题中却 常遇到.因此,在本节中将讨论在以z0为中心 的圆环域内的解析函数的级数表示法
3 一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z), 可以 在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果f(z)在z0 处不解析, 则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂 级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经 常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以z0为中心 的圆环域内的解析函数的级数表示法
讨论下列形式的级数 ∑ Cn(z-Zo) 0 +C(Z ∷+C1(z +Co +C(+.+ 可将其分为两部分考虑 (44.1) ∑c1(=-=0)2=co+c(-=)+…+cn( 0 (正幂项部分)442) 0 0 (负幂项部分44.3)
4 讨论下列形式的级数: (4.4.1) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 1 0 0 1 0 + + - + + - + - = + - + + - - - - - =- n n n n n n n c c z z c z z c z z c z z c z z ( )(4.4.3) ( ) ( ) ( ) . ( )(4.4.2) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 负幂项部分 正幂项部分 - = - + + - + - = + - + + - + - - - - = - - = n n n n n n n n n n c z z c z z c z z c z z c c z z c z z 可将其分为两部分考虑
只有在正幂项和负幂项都收剑才认为(44.1) 式收敛于它们的和 正幂项是一幂级数,设它的收敛半径为R2,对 负幂项,如果令2(z-z0)1,就得到 ∑cn(z-2)"=∑ C14+C (4.4.4 这是的幂级数,设收敛半径为R,令R1=1/R,则 当z-zR时,R,(44.4)收敛即(44.3收敛, 因此,只有在R1<z-z0<R2的圆环域,级数(44.1) 才收敛
5 只有在正幂项和负幂项都收剑才认为(4.4.1) 式收敛于它们的和. 正幂项是一幂级数, 设它的收敛半径为R2 , 对 负幂项, 如果令z=(z-z0 ) -1 , 就得到 这是z的幂级数, 设收敛半径为R, 令R1=1/R, 则 当|z-z0 |>R1时, z<R, (4.4.4)收敛即(4.4.3)收敛, 因此, 只有在R1<|z-z0 |<R2的圆环域, 级数(4.4.1) 才收敛. ( ) ,(4.4.4) 2 1 2 1 1 - 0 = = - + - + = - = - cz z c z c z c z n n n n n n
R 0.R
6 z0 R1 R2