§5条件概率
2 §5 条件概率
)条件概率条件概率是概率论中的一个重 要概念,所考虑的是事件A发生的条件下, 事件B发生的概率. 例1将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面 的情况.设事件A为至少有一次为理,事件B 为"两次掷出同一面".现在求已知事件A已经 发生条件下事件B发生的概率. 样本空间为S=(HH,HT,mH,}, 在{HH,H7H},B={HH,TT}已知事件4已发 生,知道"T7"不可能发生
3 (一) 条件概率 条件概率是概率论中的一个重 要概念, 所考虑的是事件A已发生的条件下, 事件B发生的概率. 例1 将一枚硬币抛掷两次, 观察其出现正反面 的情况. 设事件A为"至少有一次为H", 事件B 为"两次掷出同一面". 现在求已知事件A已经 发生条件下事件B发生的概率. 样本空间为S=(HH,HT,TH,TT}, A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}. 已知事件A已发 生, 知道"TT"不可能发生
即知试验所有可能结果所成的集合就是A,A 中共有3个元素,其中只有HH∈B.于是,在A发 生的条件下B发生的概率,记为P(BA),为 P(BA 3 另外,易知 11/4 P(A)=元,P(AB)=元,P(B|A) 33/4 故有 P(BA) P(AB) P(A) (5.1)
4 即知试验所有可能结果所成的集合就是A, A 中共有3个元素, 其中只有HHB. 于是, 在A发 生的条件下B发生的概率,记为P(B|A),为 . 3 1 P(B | A) = 3/ 4 1/ 4 3 1 , ( | ) 4 1 , ( ) 4 3 P(A) = P AB = P B A = = 另外, 易知 故有 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = (5.1)
对于一般古典概型问题,若仍以P(BA)记事件 A已经发生的条件下B发生的概率,则关系式 (5.1)仍然成立.事实上,设试验的基本事件总 数为n,4所包含的基本事件数为m(m>O),AB所 包含的基本事件数为k,即有 P(BA kk/n P(AB mm/n P(A)
5 对于一般古典概型问题, 若仍以P(B|A)记事件 A已经发生的条件下B发生的概率, 则关系式 (5.1)仍然成立. 事实上, 设试验的基本事件总 数为n, A所包含的基本事件数为m(m>0), AB所 包含的基本事件数为k, 即有 ( ) ( ) / / ( | ) P A P AB m n k n m k P B A = = =
定义设A,B是两个事件,且P()>0,称 P(AB) P(B A)- PC (5.2) 为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率 不难验证,条件概率P(·4)符合概率定义中的 三个条件,即 1,非负性:对任一事件B,有P(BA)≥0 2,规范性:对于必然事件S,有P(S4)=1; 3,可列可加性:设B,B2…,是两两互斥事件, ∪B4=∑P(B4
6 定义 设A,B是两个事件, 且P(A)>0, 称 (5.2) ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = = = = 1 1 ( | ) i i i P Bi A P B A 为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率. 不难验证, 条件概率P(•|A)符合概率定义中的 三个条件, 即 1,非负性: 对任一事件B, 有P(B|A)0 2, 规范性: 对于必然事件S, 有P(S|A)=1; 3, 可列可加性: 设B1 ,B2 ,...,是两两互斥事件