第四章级数 §1复数项级数
2 第四章 级数 §1 复数项级数
1.复数列的极限设{axn}(n=1,2,…)为一复数列, 其中an=an+in,又设aa+边为一确定的复数 如果任意给定0,相应地能找到一个正数 Na),使|axn-c<在n>M时成立,则a称为复数 列{an}当n->∞时的极限,记作 C 1 1→0 此时也称复数列{an}收敛于a
3 1. 复数列的极限 设{an}(n=1,2,...)为一复数列, 其中an =an +ibn , 又设a=a+ib为一确定的复数. 如果任意给定e>0, 相应地能找到一个正数 N(e), 使|an-a|<e在n>N时成立, 则a称为复数 列{an}当n→时的极限, 记作 a =a → n n lim 此时也称复数列{an}收敛于a
定理一复数列{an}(n=-1,2,…)收敛于a的充要 条件是lman= a lim b=b [证]如果ima.=a,则对于任意给定的e>0, 就能找到一个正数N,当n>M时, (an+ibm)-(a+ib)ka lan-a(ar-a)+i(bn-bk8 所以man=a,同理imbn=b n→>0 n→0
4 定理一 复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要 条件是 a a b b n n n n = = → → lim ,lim lim , lim . | | | ( ) ( )| | ( ) ( )| a a b b a a a a i b b a ib a ib n n n n n n n n n = = - - + - + - + → → 所以 同理 则 e e [证] 如果 , 则对于任意给定的e>0, 就能找到一个正数N, 当n>N时, a =a → n n lim
反之,如果 lim a =a. lim b=b n→> n→> 则任给E,存在N,当n>N时 lan-akob-bk 从而有 a-a=(am-a)+i(b-b) 1+16-bke 所以limn=a. n→)
5 反之, 如果 lim . | | | | | | | ( ) ( )| 2 ,| | 2 | | , , , lim ,lim a a e a a e e e = - + - - = - + - - - = = → → → n n n n n n n n n n n n n a a b b a a i b b a a b b N n N a a b b 所以 从而有 则任给 存在 当 时
2.级数概念设{an}={an+ibn}(n=1,2,)为一复 数列,表达式 Cn=01++……+Cn+ 称为无穷级数,其最前面n项的和 Sn=C1+a2+…+an 称为级数的部分和.如果部分和数列{sn}收敛, 则级数∑a称为收敛,并且极限ms=S称 为级数的和如果数列n不收敛,则级数 ∑a称为发散 n=1
6 2. 级数概念 设{an}={an +ibn}(n=1,2,...)为一复 数列, 表达式 = + ++ + = n n an a1 a2 a 1 . . { } , , lim 1 1 称为发散 为级数的和 如果数列 不收敛 则级数 则级数 称为收敛 并且极限 称 = → = = n n n n n n n s s s a a 称为无穷级数, 其最前面n项的和 sn =a1+a2+...+an 称为级数的部分和. 如果部分和数列{sn}收敛