柯西-古萨基本定理如果函数(z)在单连通域 B内处处解析,则它在B内任何一条封闭曲线C 的积分为零: 「f(z)dz=0 (3.22) B
2 柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连通域 B内处处解析, 则它在B内任何一条封闭曲线C 的积分为零: ( )d = 0. (3.2.2) C f z z C B
定理中的曲线C可以不是简单曲线 此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域B 如果曲线C是B的边界,函数z)在B内与C上解 析,即在闭区域B+C上解析,甚至z)在B内解 析,在闭区域B+C上连续,则fz)在边界上的积 分仍然有 f(z)dz=o
3 定理中的曲线C可以不是简单曲线. 此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域B. 如果曲线C是B的边界, 函数f(z)在B内与C上解 析, 即在闭区域B+C上解析, 甚至f(z)在B内解 析, 在闭区域B+C上连续, 则f(z)在边界上的积 分仍然有 ( )d = 0 C f z z
§3基本定理的推广 复合闭路定理
4 §3 基本定理的推广 复合闭路定理
可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情 况.设函数(2)在多连通域D内解析,C为D内的 任意一条简单闭曲线,当C的内部不完全含于 D时,沿C的积分就不一定为零 假设C及C1为D内任意两条正向为逆时针方 向)简单闭曲线,C1在C内部,而且以C及C1为 边界的区域D全含于D.作两条不相交的弧线 AA及BB,其中A,B在C上,AB在C1上这样构成 两条全在D内的简单闭曲线 AEBBEA'AE及 AAFBBFA
5 可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情 况. 设函数f(z)在多连通域D内解析, C为D内的 任意一条简单闭曲线, 当C的内部不完全含于 D时, 沿C的积分就不一定为零. 假设C及C1为D内任意两条(正向为逆时针方 向)简单闭曲线, C1在C内部, 而且以C及C1为 边界的区域D1全含于D. 作两条不相交的弧线 AA'及BB',其中A,B在C上, A'B'在C1上这样构成 两条全在D内的简单闭曲线AEBB‘E’A‘AE及 AA’F‘B’BFA
D F/DI B B E′ E 于f(z)dz=0 f(z)dz=o AEBBEA A AaF B BFA
6 D C C 1 A A' B' B D 1 F E E' F' ( ) d 0 ( ) d 0 ' ' ' ' ' ' = = AEBB E A A A A F B BFA f z z f z z