2“常代变"在每个△中任取一点（k,nk),则第k小块的质量AMk ~ μ(5k, nk)Aok (k=1,2,...,n)V3近似和n3Zμ(5k,nk)AokM=ZAMkk=1k=l4取极限X(Ek,nk)Nok令几=max(a(△ok))l<k<nnEAM = limu(Ek,nk)Ao1-0k=1目录上页下页返回结束机动
2)“常代变” 在每个 k 中任取一点 ( , ), k k 3)“近似和” = n k k k k 1 ( , ) 4)“取极限” max ( ) 1 k k n = 令 → = = n k M k k k 1 0 lim ( , ) k ( , ) k k 则第 k 小块的质量 y x
两个问题的共性（1）解决问题的步骤相同“大化小，常代变，近似和，取极限(2)所求量的结构式相同曲顶柱体体积nZJV = limf(Ek,nk)Aok0k=1平面薄片的质量nM = lim>μ(Ek,nk)Ao k1-0k=1目录上页下页返回结束机动
两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” = → = n k k k k V f 1 0 lim ( , ) → = = n k M k k k 1 0 lim ( , ) 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量:
二、二重积分的定义及可积性定义：设f(xy)是定义在有界区域D上的有界函数将区域 D任意分成n个小区域 △ok（k=l,2,,n),任取一点（k，nk）E△ok，若存在一个常数，使记作Ef(Ek, nk)AoJJ, f(x,y)doI = lim酒0k=1则称f(x,y)可积，称I为f（x，y）在D上的二重积分积分表达式积分和门f(x,y)dox,y称为积分变量被积函数面积元素积分域目录上页结束下页返回机动
二、二重积分的定义及可积性 定义: 设 f ( x, y) 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 则 称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分. x , y 称为积分变量 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数
如果f(x，y）在D上可积，可用平行坐标轴的直线来划分区域D,这时 △α=△xiAyk，因此面积元素d也常记作dxdy，二重积分记作JJ, f(x, y)dxdy.引例1中曲顶柱体体积V= JJ, f(x,y)do = JJ, f(x,y)dxd y引例2中平面薄板的质量M = JJ,u(x,y)d = J,u(x, y)dx d y目录上页下页返回结束机动
= D V f (x, y) d 引例1中曲顶柱体体积: = D M (x, y) d 引例2中平面薄板的质量: 如果 f ( x, y) 在D上可积, 也常 dxd y, 二重积分记作 ( , ) d d . D f x y x y 分区域D , 这时 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 = D f (x, y) d x d y = D (x, y) d x d y