命题37的证明： 令 0=c0+so(6. 则 '(0)=c'(0)+g)p(0)≤c()+g0)Φ(0)： 从而有 （p0)e-Exod）'≤co)-Ecd≤co) 两边从a到t积分得， Φ()e店ssh-Φ(a≤c(0-c(a. 由于④(a)=c(a,所以由上式即可得到命题的结论。证毕 张样：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区问与通解的结构
·K 37 y²µ - Φ(t) = c(t) +Z t a g(s)φ(s)ds. K Φ 0 (t) = c 0 (t) +g(t)φ(t) ≤ c 0 (t) +g(t)Φ(t). l k Φ(t) e − R t a g(s)ds0 ≤ c 0 (t)e − R t a g(s)ds ≤ c 0 (t). ¸>l a t »©ß Φ(t) e − R t a g(s)ds −Φ(a) ≤ c(t)−c(a). du Φ(a) = c(a), §±d˛™=å·K(ÿ"y. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(
Gronwall不等式的推广（有兴趣的同学思考）： 1.令x:[a,b1→R+是连续函数，且满足 ≤M+ 平(s)o(x(s)ds,t∈[a,, 其中M>0,Ψ：[a,b)→R+连续，0：R+→R+连续且单调 增.则 0≤(o+平eh)rea 其中Φ：R→歌定义为 ds u∈R. 口卡间中之#主42刀风 张样：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与通解的结构
Gronwall ÿ ™Ì2(k,”Æg): 1. - x : [a,b] → R + ¥ÎYºÍ, Ö˜v x(t) ≤ M + Z t a Ψ(s)ω(x(s))ds, t ∈ [a,b], Ÿ• M > 0, Ψ : [a,b] → R + ÎY, ω : R + → R + ÎYÖ¸N O. K x(t) ≤ Φ −1 Φ(M) +Z t a Ψ(s)ds , t ∈ [a,b] Ÿ• Φ : R → R ½¬è Φ(u) = Z u u0 ds ω(s) , u ∈ R. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(
2.令x:[a,b→R是连续函数，且满足 20≤+2Ψ(sxo)d,tea,, 其中xo∈R,平是[a,b上非负连续.则 (l≤ol+平s)ds,tea, 口0·4之·4生+2刀a0 张样：上涛交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与通解的结构
2. - x : [a,b] → R ¥ÎYºÍ, Ö˜v x 2 (t) ≤ x 2 0 +2 Z t a Ψ(s)x(s)ds, t ∈ [a,b], Ÿ• x0 ∈ R, Ψ ¥ [a,b] ˛öKÎY. K |x(t)| ≤ |x0|+ Z t a Ψ(s)ds, t ∈ [a,b] ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(
线性微分方程组解的存在区间 定理38 设A(x),f(x∈C(J),(xo,yo)∈J×Rm.则方程组(1)，i.e. 票=Ay+ ,x∈J:=(a,β)CR, (5) 满足初始条件 y(xo)=yo, 的解在J上存在、唯一且连续。 证明思想分析： 。利用Gronwall不等式估计解的界： 。运用反证法证明存在区间不是J导出矛盾. 口+94二4生￥2刀双0 张样：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与通解的结构
Ç5á©êß|)3´m ½n 38 A(x), f(x) ∈ C(J), (x0,y0) ∈ J ×R n . Kêß| (1), i.e. dy dx = A(x)y+f(x), x ∈ J := (α,β) ⊂ R, (5) ˜v–©^á y(x0) = y0, )3 J ˛3!çòÖÎY. y²g驤: |^Gronwallÿ ™O).¶ $^áy{y²3´mÿ¥ J —gÒ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(