第五节函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用 上页 下页 返回 MathS 公式 线与面 数学家
第五节 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
第五节函数的微分 微分的定义 1.引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由 变到xo+△x,问此薄片的面积改 Xo- Ax (Ax) x△x △x 变了多少？ 面积的改变量 A=x Xo △A=(x+△x)2-x号=2xA (△x)2 关于△x的线性函数 关于△x的高阶无穷小 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第五节 函数的微分 一、微分的定义 0 x 0 x x x x x 0 2 (x) 2 0 A = x 1. 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由 x0 变到 x0 + x，问此薄片的面积改 变了多少？ 面积的改变量 A 2 0 2 0 = (x + x) − x 2 ( ) . 2 0 = x x + x 关于x的线性函数 关于x的高阶无穷小
第五节函数的微分 那么，对于任意函数y=f(),是否也有 Ay=f(x,+Ax)-f)=A△+o(△d 关于△x的线性函数 关于△x的高阶无穷小 本节将研究这一问题。 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第五节 函数的微分 那么，对于任意函数 y = f (x)，是否也有 y ( ) ( ) 0 0 = f x + x − f x = Ax + o(x) . 关于x的线性函数 关于x的高阶无穷小 本节将研究这一问题
第五节函数的微分 2.定义 定义设函数y=fc)在某区间内有定义，x及o+△x 在这区间内，如果函数的增量△y=fK+△x)-fKo) 可表示为 △y=A△x+0(△x), 其中A是不依赖于△x的常数，那么称函数y=fx)在 点xo是可微的，而A△x叫做函数y=fc)在x处的微分 记作dy,即 dy=A△x. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第五节 函数的微分 2. 定义 定义 设函数y = f (x)在某区间内有定义, x0 及 x0+x 在这区间内，如果函数的增量 y = f (x0+x) – f (x0 ) 可表示为 y = A x + o(x)， 其中 A 是不依赖于 x 的常数，那么称函数 y = f (x) 在 点 x0 是可微的，而A x叫做函数y = f (x)在 x0 处的微分 记作 dy，即 dy = A x
第五节函数的微分 3.函数可微的充要条件 定理函数f)在点x处可微的充分必要条件是函 数fx)在点x处可导，并且dy=f'xo)△x. 证明之 因为dx=△x,所以dy=f'x)△x可写成 dy =f'(x)dx 由此可得 f'(x)= dv 导数也叫“微商” dx 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第五节 函数的微分 3. 函数可微的充要条件 定理 函数 f (x) 在点 x0 处可微的充分必要条件是函 数 f (x) 在点 x0 处可导，并且 dy = f (x0 ) x . 第五节 函数的微分 证明 定理 函数 f (x) 在点 x0 处可微的充分必要条件是函 数 f (x) 在点 x0 处可导，并且 dy = f (x0 ) x . 必要性 设函数 y = f (x) 在 x0 处可微， 则有 y = Ax + o(x)， 两边除以 x 得 , ( ) x o x A x y = + 于是 , ( ) lim 0 lim 0 A x o x A x y x x = = + → → 这说明函数 y = f (x) 在 x0 处可导，且 A = f (x0 ) . 因为 dx = x ，所以 dy = f (x) x 可写成 dy = f (x)dx ， 由此可得 . d d ( ) x y f x = 导数也叫“微商