第三节泰勒公式 一、泰勒中值定理 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 泰勒公式 一、泰勒中值定理 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
第三节泰勒公式 一、泰勒中值定理 1.问题的提出 在微分的应用中已经知道，当比-x很小时，有近 似计算公式 fx)≈fc)+f'co)c-xo). 在上述近似计算公式的右边是一个x-xo的一次多 项式，因此其实质是用一个一次多项式来表达一个较 复杂的函数.这种近似表达存在以下不足之处： 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 泰勒公式 1. 问题的提出 一、泰勒中值定理 在微分的应用中已经知道，当 |x – x0 | 很小时，有近 似计算公式 f (x) f (x0 ) + f (x0 )(x – x0 ) . 在上述近似计算公式的右边是一个 x – x0 的一次多 项式，因此其实质是用一个一次多项式来表达一个较 复杂的函数. 这种近似表达存在以下不足之处：
第三节泰勒公式 fx)≈fc)+f'o)c-xo) (1)精度不高 其误差仅是关于x-的高阶无穷小； (2)不能估计误差 用它来作近似计算时，不能具体估计出误差的大小. 因此，对于精度要求较高且需要估计误差的时候， 就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差 公式 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 泰勒公式 f (x) f (x0 ) + f (x0 )(x – x0 ) (1) 精度不高 其误差仅是关于 x – x0 的高阶无穷小； (2) 不能估计误差 用它来作近似计算时，不能具体估计出误差的大小. 因此，对于精度要求较高且需要估计误差的时候， 就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差 公式
第三节泰勒公式 于是提出如下的问题： 设函数fw)在含有x的开区间内具有直到(n+1) 阶导数，试找出一个关于c-x)的n次多项式 pn(x)=a+a1(x-x)+a2(x-x)》2+.+an(x-x)' 来近似表达fx),要求 f(x)-pn(x)=o(x-x)”), If(x)-e,()=? 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 泰勒公式 于是提出如下的问题： 设函数 f (x) 在含有 x0 的开区间内具有直到 (n + 1) 阶导数，试找出一个关于 (x – x0 ) 的 n 次多项式 n n n p (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x )0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 来近似表达 f (x)，要求 ( ) ( ) (( ) ) , 0 n n f x − p x = o x − x | f (x) − p (x)|= ? n
第三节泰勒公式 P(x)=ao+a(x-xo)+az(x-xo)+.+a,(x-x0)" 下面来求pmc).为了使pnc)与fc)在数值与性质 方面吻合得更好，进一步地要求pn心)还满足： p(xo)=f(x)(k=0,1,.,m). 按此要求，容易求得pnx)中的各个系数为 a4,=f,4=f）,a=7x.,a,=f） 于是所求多项式为 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 泰勒公式 下面来求 pn (x) . 为了使 pn (x) 与 f (x) 在数值与性质 方面吻合得更好，进一步地要求 pn (x) 还满足： ( ) ( ) ( 0 ,1, , ). 0 ( ) 0 ( ) p x f x k n k k n = = n n n p (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x )0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 按此要求，容易求得 pn (x) 中的各个系数为 ( ). ! 1 ( ) , , 2! 1 ( ) , ( ) , 0 ( ) 0 0 1 0 2 0 f x n a f x a f x a f x a n = = = n = 于是所求多项式为