《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章导数与微分_第二节函数的求导法则

第二节函数的求导法则 一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导公式 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导公式

第二节函数的求导法则 一、和、差、积、商的求导法则 定理1如果u=)及y=v)都在点x处可导，则 它们的和、差、积、商（分母为零的点除外）都在点x处 可导，且 (I)[ux)±vx)'=u'c)±V(x); 证明 (2)[u()vc'=W')v)+u心)V()；证明 u(x)v(x)-u(x)v(x) (v(x)≠0).证明 v2(x) 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 一、和、差、积、商的求导法则 定理1 如果 u = u(x) 及 v = v(x) 都在点 x 处可导，则 (1) [u(x)  v(x)] = u(x)  v(x)； 它们的和、差、积、商(分母为零的点除外)都在点 x 处 可导，且 (2) [u(x) v(x)] = u(x) v(x) + u(x) v(x)； (3) ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2   −  =        v x v x u x v x u x v x v x u x 第二节 函数的求导法则 证明 (1) [u(x)  v(x)] = u(x)  v(x)； u = u(x) 在 x 处可导, , ( ) ( ) ( ) lim 0 x u x x u x u x x  +  −  =  → v = v(x) 在 x 处可导, . ( ) ( ) ( ) lim 0 x v x x v x v x x  +  −  =  → 于是 x u x x v x x u x v x x  +   +  −   → [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 x u x x u x v x x v x x  +  −  +  − =  → [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim 0 x v x x v x x u x x u x x x  +  −   +  − =  →  → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 lim 0 = u (x)  v (x) . 证毕 第二节 函数的求导法则 证明 u = u(x) 在 x 处可导, , ( ) ( ) ( ) lim 0 x u x x u x u x x  +  −  =  → v = v(x) 在 x 处可导, . ( ) ( ) ( ) lim 0 x v x x v x v x x  +  −  =  → 于是 x u x x v x x u x v x x  +  +  −  → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x u x x u x v x x u x v x x v x x  +  − +  + +  − =  → [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0 x v x x v x v x x u x x u x x u x x x  +  − +  +  +  − =  →  → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 lim 0 = u (x)v(x) + u(x)v (x). 证毕 (2) [u(x) v(x)] = u(x) v(x) + u(x) v(x)； 第二节 函数的求导法则 证明 u = u(x) 在 x 处可导, , ( ) ( ) ( ) lim 0 x u x x u x u x x  +  −  =  → v = v(x) 在 x 处可导, . ( ) ( ) ( ) lim 0 x v x x v x v x x  +  −  =  → 于是 x v x u x v x x u x x x  − +  +   → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 (3) ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2   −  =        v x v x u x v x u x v x v x u x v x x v x x u x x v x u x v x x x +   +  − +  =  → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 v x x v x x u x x u x v x u x v x x v x x +   +  − − +  − =  → ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] lim 0

第二节函数的求导法则 这些法则可简记为 (u士=W'土y推广 (u+v-w)'=u'+v-w (avy=uv+u =c (Cu)'=C'(C为常数) (u以='v+uy推旷》 (uvw)'u'vw uv'w uvw' 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 这些法则可简记为 (u  v) = u  v 推广 (u + v - w) = u + v - w (u v) = uv + uv v = C (Cu) = Cu (C 为常数) (u v) = uv + uv 推广 (uvw) = uvw + uvw + uvw 2 v u v uv v u  −  =        u = 1 2 1 v v v  = −       

第二节函数的求导法则 例1y=2x5-3x3+4x-9,求y'. 解 例2fx)=x3+4sinx-cos10,求f'x)及f'(). 解 例3y=ex(sinx+cosx),求y. 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 例1 y = 2x 5 – 3x 3 + 4x – 9 , 求 y . 第二节 函数的求导法则 解 例1 y = 2x 5 – 3x 3 + 4x – 9 , 求 y . y = (2x 5 – 3x 3 + 4x – 9) = (2x 5 ) – (3x 3 ) + (4x) – (9) = 2  5x 4 – 3  3x 2 + 4 = 10x 4 – 9x 2 + 4 . 例2 f (x) = x 3 + 4sin x – cos10 , 求 f (x) 及 f () . 第二节 函数的求导法则 解 f (x) = (x 3 + 4sin x – cos10 ) = 3x 2 – 4cos x , 例2 f (x) = x 3 + 4sin x – cos10 , 求 f (x) 及 f () . f () = 3 2 + 4 . 例3 y = ex (sin x + cos x ) , 求 y . 第二节 函数的求导法则 解 y = (ex ) (sin x + cos x ) + e x (sin x + cos x ) = ex (sin x + cos x ) + ex (cos x – sin x ) 例3 y = ex (sin x + cos x ) , 求 y . = 2ex cos x

第二节函数的求导法则 例4设y= 2-2x+2 x5-1 求 解 例5设y=tan,求y. 解 (tan x)'=sec2x,(cot x)'=-csc2x 例6设y=secx,求y. 解 (secx)'=secx.tanx,(cscx)'=-cscx.cotx 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第二节 函数的求导法则 例4 设 第二节 函数的求导法则 解 例4 设 , 求y . 1 2 2 5 2 − − + = x x x y 5 2 2 5 2 5 ( 1) ( 2 2) ( 1) ( 2 2)( 1) − − +  − − − + −   = x x x x x x x y 5 2 5 2 4 ( 1) (2 2)( 1) ( 2 2) 5 − − − − − +  = x x x x x x . ( 1) 3 8 10 2 2 5 2 6 5 4 − − + − − + = x x x x x , 求y . 1 2 2 5 2 − − + = x x x y 例5 设 y = tan x , 求 y . 第二节 函数的求导法则 解 例5 设 y = tan x , 求 y . y  = (tan x)        = x x cos sin x x x x x 2 cos (sin )cos −sin (cos ) = x x x 2 2 2 cos cos + sin = sec . cos 1 2 2 x x = = y x 2  = sec y = tan x x y x x x x 2 2 (tan ) = sec , (cot ) = −csc 例6 设 y = sec x , 求 y . 第二节 函数的求导法则 解 y  = (sec x)        = cos x 1 x x 2 cos (cos ) = − x x 2 cos − sin = − = sec x tan x . y = sec x y  = sec x  tan x x 例6 设 y = sec x , 求 y . y (sec x) = sec x tan x , (csc x) = −csc x cot x