第八节函数的连续性与间断点 一、 函数的连续性 二、函数的间断点 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第八节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 二、函数的间断点
第八节函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1.变量的增量 定义设变量u从初值W1变到终值2， 终值与初值 的差w2-w1称为变量u的增量，记作 △u=u2-l1· 设y=f(x),则△x称为自变量的增量，△y称为函 数的增量. 注意增量△可正可负还可以为零， 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第八节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1. 变量的增量 定义 设变量 u 从初值 u1 变到终值 u2 ，终值与初值 的差 u2 – u1 称为变量 u 的增量，记作 u = u2 – u1 . 设 y = f (x)，则 x 称为自变量的增量， y称为函 数的增量. 注意 增量 u 可正可负还可以为零
第八节函数的连续性与间断点 2.连续的定义 定义设函数y=fx)在的某一邻域内有定义， 如果 lim△y=lim[f(x+△x)-f(xo】=0, △x→0 Ax-0 那么就称函数y=fx)在点x连续， =f(x) 连续函数的图形是一条连续而不 间断的曲线 xoxo+△x 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第八节 函数的连续性与间断点 x y O x0 x0+x x y y = f (x) 2. 连续的定义 定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义， 如果 [ ( ) ( ) ] 0 , 0 0 0 0 lim = lim + − = → → y f x x f x x x 那么就称函数 y = f (x) 在点 x0 连续. 连续函数的图形是一条连续而不 间断的曲线
第八节函数的连续性与间断点 lim△y=lim[f(x+△x)-f(x】=0, △x→0 △x→0 3.连续的等价定义 令x=x,+△x,则可得连续的如下等价定义： 定义设函数y=fc)在x的某一邻域内有定义， 如果 lim f(x)=f(x), x→x0 那么就称函数y=f心)在点x连续 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第八节 函数的连续性与间断点 3. 连续的等价定义 令 x = x0 + x , [ ( ) ( ) ] 0 , 0 0 0 0 lim = lim + − = → → y f x x f x x x 则可得连续的如下等价定义： 定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义， 如果 ( ) ( ) , lim 0 0 f x f x x x = → 那么就称函数 y = f (x) 在点 x0 连续
第八节函数的连续性与间断点 ()有定义，即fx)存在； limf(x)=f(x)(2)有极限，即limf(x)存在； x→x0 (3)相等，即limf(x)=f(x) x→x0 因此函数y=f(x)在点x连续必需同时满足上述三 个条件 上页 下页 返回 MathS 公式 线与面 数学家
第八节 函数的连续性与间断点 ( ) ( ) lim 0 0 f x f x x x = → (1) 有定义，即 f (x0 ) 存在； (2) 有极限，即 ( ) lim 0 f x x→x 存在； (3) 相等，即 ( ) ( ) . lim 0 0 f x f x x x = → 因此函数 y = f (x) 在点 x0 连续必需同时满足上述三 个条件