第四节无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
第四节无穷小与无穷大 一、无穷小 定义1如果函数fc)当x→x(或x→o)时的极限为 零，那么称函数fx)为当x→x(或x→o)时的无穷小 例如， :lim(x-1)=0,所以函数x-1为当x→1时为无穷小. lim.=0,所以函数为当x-→o时为无穷小. limx X-00 0,所以函数点为当→时为无穷小 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小 定义1 如果函数 f (x) 当 x→x0 (或 x→)时的极限为 零，那么称函数 f (x) 为当 x→x0 (或 x→)时的无穷小. 例如， ( 1) 0 , lim 1 − = → x x 所以函数 x–1 为当x→1时为无穷小. 0 , 1 lim = x→ x 所以函数 为当x→时为无穷小. x 1 0 , 1 1 lim = x→− − x 所以函数 为当x→-时为无穷小. 1− x 1
第四节无穷小与无穷大 定义1如果函数fx)当x→（或x→o)时的极限为 零，那么称函数f心)为当x→x(或x→0)时的无穷小. 几点说明 ()无穷小不是很小很小的数； (2)函数fx)是不是无穷小与自变量的变化过程有关； 例如，fx)=x-1,当x→1时是无穷小，当x→2时不 是无穷小. (3)0是可以作为无穷小的唯一常数。 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第四节 无穷小与无穷大 定义1 如果函数 f (x) 当 x→x0 (或 x→)时的极限为 零，那么称函数 f (x) 为当 x→x0 (或 x→)时的无穷小. 几点说明 (1) 无穷小不是很小很小的数； (2) 函数 f (x) 是不是无穷小与自变量的变化过程有关; 例如，f (x) = x – 1 ，当 x→1 时是无穷小，当 x→2 时不 是无穷小. (3) 0 是可以作为无穷小的唯一常数
第四节无穷小与无穷大 定理1（无穷小与函数极限的关系）在自变量的同 变化过程x→x(或x→o)中，函数fc)具有极限A的 充分必要条件是fx)=A+a,其中是无穷小. 证明) 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第四节 无穷小与无穷大 定理1(无穷小与函数极限的关系) 变化过程 x→x0 (或 x→)中，函数 f (x) 具有极限A 的 充分必要条件是 f (x) = A + ，其中 是无穷小. 在自变量的同一 第四节 无穷小与无穷大 证明 必要性 当 0 < | x – x0 | < 时，有 令 = f (x) – A， | f (x) − A| . f x A x x x = → → ( ) lim ( ) 0 定理1(无穷小与函数极限的关系) ( ) , 0 lim ( ) 0 = + = → → x x x f x A 设 ( ) , lim 0 f x A x x = → 则 > 0， > 0, 则当 x→x0 时， 是无穷小， 且 f (x) = A + . 这就证明了必要性
第四节无穷小与无穷大 二、无穷大 定义2设函数fx)在x的某一去心邻域内有定义 (或|x|大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的 正数M(不论它多么大)，总存在正数6（或正数），只 要x适合不等式0<|x-xl<6(或|x|>),对应的函 数值fx)总满足不等式 If(x)>M, 那么称函数f)为当xx(或x→o)时的无穷大. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第四节 无穷小与无穷大 二、无穷大 定义2 设函数 f (x) 在 x0 的某一去心邻域内有定义 (或 | x | 大于某一正数时有定义). 如果对于任意给定的 正数 M (不论它多么大)，总存在正数 (或正数 X)，只 要 x 适合不等式 0 < | x – x0 | < (或 | x | > X)，对应的函 数值 f (x) 总满足不等式 | f (x) | > M， 那么称函数 f (x) 为当 x→x0 (或 x→)时的无穷大