第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 、 函数单调性的判定法 1.函数单调性的定义 单调增x1<x2∈I,有fc1)<fc2) 单调性 单调减x1<x2∈I,有fc1)>fc2) 直接用定义来判别函数的单调性就是要比较当x<x2 时fc)与fx2)的大小.这在本章之前有时是很困难的， 但现在有了微分中值定理，这种做法就变得容易了， 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 1. 函数单调性的定义 一、函数单调性的判定法 单调性 单调增 x1 < x2 I，有 f (x1 ) < f (x2 ) 单调减 x1 < x2 I，有 f (x1 ) > f (x2 ) 直接用定义来判别函数的单调性就是要比较当x1< x2 时 f (x1 ) 与 f (x2 ) 的大小. 这在本章之前有时是很困难的, 但现在有了微分中值定理，这种做法就变得容易了
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 因为由微分中值定理，有 fx2)-f(x)=f'(月x2-x1). 因此比较f(x)与fx2)的大小（即判别函数fx)的单调 性)即变成判别一阶导数f'x)的符号 下面从图形上来验证这个结论.设 f(x)=xsin x, 则 f(x)=sin x+xcosx. 在一个坐标系中同时绘制fx)与f'x)的图形如下， 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 因为由微分中值定理，有 f (x2 ) – f (x1 ) = f ()(x2 – x1 ). 因此比较 f (x1 ) 与 f (x2 ) 的大小(即判别函数 f (x) 的单调 性) 即变成判别一阶导数 f (x) 的符号. 下面从图形上来验证这个结论. 设 f (x) = xsin x , 则 f (x) = sin x + x cos x . 在一个坐标系中同时绘制 f (x) 与 f (x) 的图形如下
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 f(x)=sin x+xcosx (x)=xsinx ■ 表示单调减区间，f'x)的图形在x轴下方 表示单调增区间，f'x)的图形在x轴上方 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 表示单调减区间，f (x) 的图形在 x 轴下方 表示单调增区间，f (x) 的图形在 x 轴上方 f (x) = xsin x f (x) = sin x + x cos x x y O
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 2.函数单调性的判定法 定理1设函数y=fx)在[a,b]上连续，在(a,b) 内可导 (1)如果在(a,b)内f')>0,那么函数y=fx)在 [a,b1上单调增加； (2)如果在(a,b)内f'x)<0,那么函数y=fx)在 [a,上单调减少. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 2. 函数单调性的判定法 定理1 设函数 y = f (x) 在 [a , b] 上连续，在 (a , b) 内可导. (1) 如果在 (a , b) 内 f (x) > 0，那么函数y = f (x) 在 [a , b] 上单调增加； (2) 如果在 (a , b) 内 f (x) < 0，那么函数 y = f (x) 在 [a , b] 上单调减少