第三节高阶导数 一、定义 二、几个初等函数的n阶导数 三、莱布尼茨公式 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 高阶导数 一、定义 二、几个初等函数的n 阶导数 三、莱布尼茨公式
第三节高阶导数 一、定义 定义函数y=fx)的导数仍是x的函数，一阶导数 的导数叫做二阶导数，二阶导数的导数叫做三阶导数， 一般地，n-1阶导数的导数叫做n阶导数，二阶及二 阶以上的导数统称为高阶导数.n阶导数记为 ym或 d"y dx" 二阶和三阶导数也可记为 22 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 高阶导数 一、定义 定义 函数 y = f (x) 的导数仍是 x 的函数，一阶导数 一般地，n – 1 阶导数的导数叫做 n 阶导数， 的导数叫做二阶导数，二阶导数的导数叫做三阶导数， (n) y 二阶及二 阶以上的导数统称为高阶导数. n 阶导数记为 或 . d d n n x y 二阶和三阶导数也可记为 y , y
第三节高阶导数 求高阶导数的方法是依次求一阶、二阶、.、直到所 需要的阶数为止.每次求导仍用一阶导数的求导公式和 法则. 例1y=2x5-x3+4x-9,求y". 解 例2证明函数y=V2x-x2满足关系式yy”+1=0 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 高阶导数 求高阶导数的方法是依次求一阶、二阶、.、直到所 需要的阶数为止. 每次求导仍用一阶导数的求导公式和 法则. 例1 y = 2x 5 –x 3 + 4x – 9 , 求 y . 第三节 高阶导数 解 y = 10x 4 – 3x 2 + 4 , 例1 y = 2x 5 –x 3 + 4x – 9 , 求 y . y = 40x 3 – 6x , y = 120x 2 – 6 . 例2 证明函数 第三节 高阶导数 解 例2 证明函数 2 y = 2x − x 满足关系式 1 0 . 3 y y + = 2 2 2 2 2 x x x y − − = , 2 1 2 x x x − − = 2 2 2 2 2 1 2 (1 ) x x x x x x x x y − − − − − − − = 2 2 2 2 (2 ) 2 2 (1 ) x x x x x x x − − − + − − = 2 3 2 (2 ) 1 x − x = − , 1 3 y = − 变形后得所证的关系式. 2 y = 2x − x 满足关系式 1 0 . 3 y y + =
第三节高阶导数 二、几个初等函数的n阶导数 例3求幂函数y=x“的n阶导数. (n) 解白(x)m=h, 例4求指数函数y=ex的n阶导数. 解 (ex)()=ex. 上页 下页 返回 MathS 公式 线与面 数学家
第三节 高阶导数 二、几个初等函数的 n 阶导数 例3 求幂函数 y = x 的 n 阶导数 . 第三节 高阶导数 解 y = x -1 , y = ( – 1)x -2 , y = ( – 1)( – 2)x -3 , 例3 求幂函数 y = x 的 n 阶导数 . . y (n) = (x ) (n) = ( – 1)( – 2).( – n + 1)x -n 特别地，当 = n 和 = -1 时，分别有 . 1 ( 1) ! ( ) !, 1 ( ) ( ) + − = = n n n n n x n x x n . 1 ( 1) ! ( ) !, 1 ( ) ( ) + − = = n n n n n x n x x n 例4 求指数函数 y = ex 的 n 阶导数 . 第三节 高阶导数 解 y = ex , y = ex , y = ex , . y (n) = ex . (e ) e . x (n) x = 例4 求指数函数 y = ex 的 n 阶导数 . (e ) e . x (n) x =
第三节高阶导数 例5求正弦函数y=sinx的n阶导数. 解行m+n到as=m+到 例6求对数函数y=ln(1+x)c>-1)的n阶导数 解白(1+x]m=(-y1m-1 1+x>-1) 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第三节 高阶导数 例5 求正弦函数 y = sin x 的 n 阶导数 . 第三节 高阶导数 解 y = cos x 例5 求正弦函数 y = sin x 的 n 阶导数 . , 2 π sin = x + = + 2 π y cos x = + + 2 π 2 π sin x , 2 π sin 2 = x + = + 2 π y cos x 2 , 2 π sin 3 = x + 依次类推，可得 . 2 π (sin ) sin ( ) x = x + n n 同理可得 . 2 π (cos ) cos ( ) x = x + n n = + = + 2 π , (cos ) cos 2 π (sin ) sin ( ) ( ) x x n x x n n n 例6 求对数函数 y = ln(1 + x) (x > -1)的 n 阶导数 . 第三节 高阶导数 解 , 1 1 x y + = ( ) ( 1) ( ) − = n n y y 例6 求对数函数 y = ln(1 + x) (x > -1)的 n 阶导数 . ( 1) 1 1 − + = n x . (1 ) ( 1)! ( 1) 1 n n x n + − = − − ( 1). (1 ) ( 1)! [ln(1 )] ( 1) ( ) 1 − + − + = − − x x n x n n n ( 1). (1 ) ( 1)! [ln(1 )] ( 1) ( ) 1 − + − + = − − x x n x n n n