第五节函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题 上页 下页 返回 MathS 公式 线与面 数学家
第五节 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
第五节函数的极值与最大值最小值 函数的极值及其求法 1.函数极值的定义 定义设函数f心)在点xo的某邻域U)内有定义， 如果对该邻域内的任一x(心≠x),有 fx)<fc)(或fx)>f)), 那么就称f)是函数f)的一个极大值（或极小值） 函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极 值的点称为极值点。 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第五节 函数的极值与最大值最小值 1. 函数极值的定义 一、函数的极值及其求法 定义 设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域 U(x0 ) 内有定义, 如果对该邻域内的任一 x (x x0 )，有 f (x) < f (x0 ) ( 或 f (x) > f (x0 ) )， 那么就称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的一个极大值(或极小值). 函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极 值的点称为极值点
第五节函数的极值与最大值最小值 几点说明 y=x+2sin x ()极值是一个局部概念，在闭区 上连续的函数，可能有多个极大值 或极小值，并且极大值可能小于极 。极小 。极大 小值. (2)极大值不一定是最大值，极小 y=(x-4/ 值也不一定是最小值. (③)极值点可能是驻点或不可导点： x 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第五节 函数的极值与最大值最小值 几点说明 (1) 极值是一个局部概念，在闭区 上连续的函数，可能有多个极大值 或极小值，并且极大值可能小于极 小值. (2) 极大值不一定是最大值，极小 值也不一定是最小值. (3) 极值点可能是驻点或不可导点. y = x + 2sin x x y 极小 极大 O 2 3 2 y = (x − 4) x x y O
第五节函数的极值与最大值最小值 2.极值存在的条件 定理1（必要条件）设函数fw)在处可导，且在 xo处取得极值，那么f'c)=0. 定理1说明：可导函数的极值点一定是驻点，但驻点 不一定是极值点.例如函数 y(x-)3+2 y=(x-1)3+2在驻点x=1处不 取得极值，因为该函数在其定义 域内是单调增函数. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第五节 函数的极值与最大值最小值 2. 极值存在的条件 定理1(必要条件) 设函数 f (x) 在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，那么 f (x0 ) = 0 . 定理1说明：可导函数的极值点一定是驻点，但驻点 不一定是极值点. ( 1) 2 3 y = x − + 例如函数 在驻点 x = 1 处不 取得极值，因为该函数在其定义 域内是单调增函数. ( 1) 2 3 y = x − + x y O
第五节函数的极值与最大值最小值 定理2（第一充分条件）设函数fx)在连续，且 在的某去心邻域内可导. (1)若x<x时，f')>0,而x>xo时，f')<0, 则fx)在处取得极大值；（左正右负）个 2)若x<x0时，f')<0,而x>时，f'c)>0, 则f)在处取得极小值；（左负右正）八/ 3)若在的左右两侧f'心)不变号，则fx)在x0 处不取得极值.一 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家
第五节 函数的极值与最大值最小值 定理2(第一充分条件) 设函数 f (x) 在 x0 连续，且 在 x0 的某去心邻域内可导. (1) 若 x < x0 时， f (x) > 0，而 x > x0 时， f (x) < 0， 则 f (x) 在 x0 处取得极大值；(左正右负) (2) 若 x < x0 时， f (x) < 0，而 x > x0 时， f (x) > 0， 则 f (x) 在 x0 处取得极小值；(左负右正) (3) 若在 x0 的左右两侧 f (x) 不变号，则 f (x) 在 x0 处不取得极值