江画工太猩院 证明(1) y=p,(x) 若区域D既是X-型x=v(yD)B 又是Y-型,即平行于 坐标轴的直线和L至 ±y2(y) 多交于两点 Cy=91(x) D={xy)g(x)sy≤2(x),a≤x≤b D=x, y),sxsv20)), csysd
江西理工大学理学院 {( , ) ( ) ( ), } 1 2 D = x y ϕ x ≤ y ≤ ϕ x a ≤ x ≤ b 证明(1) 若区域D既是X −型 又是Y −型,即平行于 坐标轴的直线和L至 多交于两点. {( , ) ( ) ( ), } 1 2 D = x y ψ y ≤ x ≤ψ y c ≤ y ≤ d y x o a b D c d ( ) 1 y = ϕ x ( ) 2 y = ϕ x A B C E ( ) 2 x =ψ y ( ) 1 x =ψ y
江画工太猩院 00 v2)00 = dx y1(y) ax 2(v20), y)dy- Q(v,(), y)dy Q(x,y)dy-.2(x, y)dy E JCBE JCAE x=yily D re e(x, y)dy+p e(x, )dy v2(y) o(x, y)dy aP 同理可证 dxdy=pp(x, y)dx
江西理工大学理学院 dx x Q dxdy dy x Q y y d c D ∫∫ ∫ ∫ ∂∂ = ∂∂ ( ) ( ) 21 ψψ ∫ ∫ = − dc dc Q( ( y), y)dy Q( ( y), y)dy ψ 2 ψ 1 ∫ ∫ = − CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy ∫ ∫ = + CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy ∫ = LQ(x, y)dy 同理可证 ∫∫ ∫ = ∂∂ − L D dxdy P x y dx yP ( , ) y x o d ( ) 2 x =ψ y D c C E ( ) 1 x =ψ y
江画工太猩院 两式相加得 d0 oP )dxdy=o Pdx+gdy ax ay L 证明(2) 若区域D由按段光 滑的闭曲线围成如图, 将D分成三个既是X一型又是A Y-型的区域D,D2,D3 ar o, drdy 00OP、 a0 aP D1+D2+D3
江西理工大学理学院 若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 证明(2) L L1 L2 L3 D D1 D2 D3 两式相加得 ∫∫ ∫ = + ∂∂ − ∂∂ L D dxdy Pdx Qdy yP xQ ( ) 将D分成三个既是X −型又是 Y −型的区域D1,D2,D3. ∫∫ ∫∫ + + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q
江画工太猩院 rr o0 aPud,.01 00 OP 80 OP )dxdy+ )dxdy Ox ay D1 ax ay D, Ox Oy 纟Px+c+,Pa+Q+P+y Pax+ ody (L1L2,L2对D来说为正方向)
江西理工大学理学院 ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∂∂ − ∂∂ + ∂∂ − ∂∂ + ∂∂ − ∂∂ 1 2 3 ( ) ( ) ( ) D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q ∫ ∫ ∫ = + + + + + L1 L2 L3 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy ∫ = + L Pdx Qdy D1 D2 D3 L L1 L2 L3 ( , ) L1,L2 L3对D来说为正方向