当8(x)f(x)时,g(x)航称为f(x)的因式,f(x) 称为g(x)的倍式。 1.多项式整除性的一些基本性质: (1)如果f(x)g(x),g(x)从(x),那么f(x)b(x) (2)如果(x)(x),h(x)g(x),那么Mx米(x)±8(x); (3)如果A(x)f(x),那么∨h(x)∈Fx],有 h(x)lf(x)g(x) (4)如果h(x)f(x),=12…t,则g(x)∈x有 h(x)f(x)g1(x)±/2(x)g2(x)±…土(x)g,(x);
称为 g(x) | f (x) g(x) f (x) f (x) g(x) 当 时， 就称为 的因式， 的倍式。 1.多项式整除性的一些基本性质： （1）如果 f (x) g(x) ， g(x) h(x) ，那么 f (x) h(x) ； （2）如果 h(x) f (x) ， h(x) g(x) ，那么 h(x)( f (x) g(x)) ； h(x) f (x) h(x) F[x] h(x) f (x)g(x) （3）如果 ，那么 ，有 ； h(x) f (x) i i = 1,2, ,t g (x) F[x] （4）如果 ， ，则 i 有 ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 1 1 2 2 h x f x g x f x g x f x g x t t ；
(59(x)(x),a(x)。(()e,ae∈F且 CC≠0); (6)设f(x)和g(x∈F[x如果f(x)g(x),9(x)f(x),那么有 f(x)=cg(x)这里C是数域F中某一不等于零的数 证明略(板书) 定理421 vf(x)、g(x)∈F[x],且g(x)≠0,则一定 (x),r(x)∈F[x],使 f(x=glxg(x)+r(x) 成立,其中O(x)<(g(x)或者r(x)=0,并且这样的
cf x f x ( ) ( )，a f (x) f (x) F[x] a, c F ac 0 （5） （ ， 且 ）； 。 f (x) g(x) F x[ ]， f (x) g(x) g(x) f (x) f x cg x ( ) ( ) = ， c F 和 如果 ， 那么有 这里 是数域 中某一不等于零的数。 （6）设 ， 证明略（板书） 定理4.2.1 f (x) 、 g(x) F[x] ，且 g(x) 0 ，则一定 q(x),r(x) F[x] ，使 f (x) = q(x)g(x) + r(x) -------(1) 成立，其中 (r(x)) (g(x)) 或者 r(x) = 0 ，并且这样的
q(x),r(x)是唯一决定的。 (1)中的q(x)称为g(x)除f(x)的商,r(x)称为g(x)除 f(x)的余式 多项式的整除性不会因数域的扩大而改变 例题 例1求f(x)=x4+4x32+2x2+1被g(x)=x2+1除所得 的商式和余式。 例2计算:x
q(x),r(x) 是唯一决定的。 （1）中的 q(x) 称为 g(x) 除 f (x) 的商， r(x) 称为 g(x) 除 f (x) 的余式。 多项式的整除性不会因数域的扩大而改变。 二、例题 例1 求 ( ) 4 2 1 4 3 2 f x = x + x + x + 被 ( ) 1 2 g x = x + 除所得 的商式和余式。 例2 计算: −1 −1 d n x x
§4.3多项式的最大公因式 道●教学目 掌握多项式最大公因式的定义、运算及 其性质。 ●重点 多项式最大公因式的定义、运算及其性质。 难 运用展转相除法求最大公因式,最大公因 式性质的运用
§4.3 多项式的最大公因式 ⚫重点 多项式最大公因式的定义、运算及其性质。 ⚫难点 运用展转相除法求最大公因式，最大公因 式性质的运用。 ⚫教学目标 掌握多项式最大公因式的定义、运算及 其性质
§4.3多项式的最大公因式 定义43.1(多项式的公因式)设f(x),g(x)∈Fx 若F中的一个多项式h(x)满足M(x)(x)且x)(x) ,那么(x)就称为(x)与g(x)的一个公因式 定义4.32(多项式的最大公因式)设d(x)是多项 式(x)与g(x)一个公因式。若d(x)能整除f(x)与g(x) 的每一个公因式,则称d(x)是f(x)与8(x)的最大公 因式。 例如,对于任意多项式f(x),f(x)就是f(x)与0的一个 最大公因式。特别地,根据定义,两个零多项式的
§4.3 多项式的最大公因式 定义4.3.1（多项式的公因式）设 。 若 中的一个多项式 满足 且 ，那么 就称为 与 的一个公因式。 定义4.3.2 （多项式的最大公因式）设 是多项 式 与 的一个公因式。若 能整除 与 的每一个公因式，则称 是 与 的最大公 因式 。 例如，对于任意多项式 ， 就是 与0的一个 最大公因式。特别地，根据定义，两个零多项式的 f x g x F x ( ) ( ) [ ] ， F[x] h(x) h(x) f (x) h(x) g(x) h(x) f (x) g(x) d (x) f (x) g(x) d (x) f (x) g(x) d (x) f (x) g(x) f (x) f (x) f (x)