§4.3协方差、相关系数和矩 他苏差构果素数的卷 >、他市差和相素数的质 >。的会
§43协方差、相关系数和矩 主则和每关买的禽 除了关心它的各个分 量的数学期望和方差外,还需要知道这两个分量之 平间的相互关系,这种关系无法从各个分量的期望和 方差来说明,这就需要引进描述这两个分量之间相 下互关系的数字特征协方差及相关系数,但如何 广来刻画这种关系呢? 上由(417知若x与y相互独立则Ax-EXy-E0; 若(X-EXY-Ey≠0,则表示X与Y不独立X与Y之间 存在着一定的关系据此我们引入下列定义 上页
§4.3 协方差、相关系数和矩 一、协方差和相关系数的概念 对于二维随机变量 ，除了关心它的各个分 量的数学期望和方差外，还需要知道这两个分量之 间的相互关系，这种关系无法从各个分量的期望和 方差来说明，这就需要引进描述这两个分量之间相 互关系的数字特征——协方差及相关系数，但如何 来刻画这种关系呢？ 由(4-17)知,若 相互独立,则 ; 若 ,则表示X与Y不独立,X与Y之间 存在着一定的关系.据此,我们引入下列定义 (X , Y) X与Y E(X − EX)(Y − EY)= 0 E(X − EX)(Y − EY) 0
定义4.6设(X,Y)是二维随机变量,则称E(xEX)YEY r为X与Y的协方差( Covariance),记为o(X,或ax,即 王∞o(x.,y)==(x-EX=E (4-20) 若x=√DX≠0且a=Dy≠0,则称 coV(, Y XY DX.√DY (4-21) 上为X与的相关系数( Correlation Coefficient(x,)是 斗厂有量纲的量,而O则是无量纲的量 协方差常用下列公式计算 工工 ST cov(Y, Y)=E(XY)-EXEY 事实上, 上页
定义4.6 设 是二维随机变量， 则称 为X与Y的协方差（Covariance），记为 或 ， 即 （4—20） 若 且 ，则称 （4—21） 为X与Y的相关系数（Correlation Coefficient）． 是 有量纲的量，而 则是无量纲的量． 协方差常用下列公式计算 事实上， (X , Y) E(X − EX)(Y − EY) cov(X, Y) XY cov(X, Y) = XY = E(X − EX)(Y − EY) X = DX 0 Y = DY 0 XY X Y XY = DX DY X Y = cov( , ) cov(X, Y) XY cov(X, Y) = E(XY)− EX EY
cow(五,Y)=E[x-BxY-EF 互[xY-x.E-F.Ex+ExEy E(xY)-应x·应Y+EY应x+Ex·EY =E(Y)-Bx·EY 协方差和相关系数的性质 性质1.cov(H,Y)=cow(Y,H (4-23) H性质2.cov(x,x)=Dx (4—24) N性质3c0(ax,by)=abc0w(x,,a,b是常数 (4-25) 性质4.0x1+x2,Y)=0(x1,r)+0(x2,) (4-26) 性质5.D(x±Y)=Dx+DY±2co(x,Y (4-27) 上页
定理41(柯西许瓦兹( Cauchy- Schwarz)不等式) (X,Y)为二维随机变量,若(x)和E2)存在,则 (EXY)2≤E(X2),E(r2) (428) 证明因为Ws2(x2+y),所以E()存在另一方面对 任意λ∈R二次三项式 E(x+y)2=E(x2)+2E(xy)+B(y2)≥0,(429) 可见上述关于的二次三项式不可能有两个不同的实根, 上因而判别式 △=4(EX)2-4E(X2),E(Y2)≤0 即有EXY)≤E(X2)E(Y2) 定理42设(X,Y)是二维随机变量,若X与Y的相关系 牛数存在则 r(1)/|≤l (430) (2)p1=1的充要条件是存在常数(0b使P=ax+b}= 上页
定理4.1 (柯西—许瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式) （X，Y）为二维随机变量，若 和 存在，则 （4—28） 证明 因为 , 所以 存在. 另一方面,对 任意λ ，二次三项式 , （4—29） 可见上述关于λ的二次三项式不可能有两个不同的实根, 因而判别式 即有 □ 定理4.2 设（X，Y）是二维随机变量，若X与Y的相关系 数 存在，则 （1） （4—30） （2） 的充要条件是存在常数 使 ． ( ) 2 E X ( ) 2 E Y ( ) ( ) ( ) 2 2 2 EXY E X E Y ( ) 2 2 2 1 XY X + Y E(XY) R ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 E X + Y = E X + E XY + E Y 4( ) 4 ( ) ( ) 0 2 2 2 = EXY − E X E Y ( ) ( ) ( ) 2 2 2 EXY E X E Y XY XY 1 XY =1 a ( 0)、 b, PY = aX + b=1