二空间立体Q的体积V=∫lh 5JZ1-32dxdy=Jfi(x, y)-f2(x, y)dxc y ex3计算由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成 的立体体积 Solution.立体在xoy面上的投影区域为 D:x2+y2≤2 6-2x2-y2)-(x2+2y2)xhy D 16-3(x2+y2)xay (6-3rrdrd6 D D 2丌 6n(6-3r2)rt=6兀 K心
二.空间立体的体积 = − = − Dxy Dxy V z z dxdy f (x, y) f (x, y)dxdy 1 2 1 2 V = dv . 3. 2 6 2 2 2 2 2 的立体体积 ex 计算由曲面z = x + y 及z = − x − y 所围成 Solution. o x y z 立体在xoy面上的投影区域为: : 2, 2 2 D x + y = − − − + D V [(6 2x y ) (x 2y )]dxdy 2 2 2 2 = − + D [6 3(x y )]dxdy 2 2 = − D (6 3r )rdrd 2 = − 2 0 2 2 0 d (6 3r )rdr = 6
ex4.求曲面x2+y2+z22a2与z≥、x2+y 所围成的立体体积 Solution :0≤p≤√2a, 0≤qs 0≤b≤2丌, Q p sin dodge=[del doy 0 0 p sin ppap =2π4sinq (√2a 丌(√2-1)a 0 3 K心
ex4. 求曲面 2 2 2 2 x + y + z 2a 与 2 2 z x + y 所围 成的立体体积. Solution. x y z 0 2 , , 4 0 : 0 2a, V = dxdydz = a d d d 2 0 2 0 2 0 sin 4 = 4 0 3 3 ( 2 ) 2 sin d a ( 2 1) . 3 4 3 = − a = sinddd 2
ex5.穿过半径为4厘米的铜球的中心,钻一个半径为 1厘米的圆孔,问损失掉的铜的体积铜以球直径 为中心对称轴 Solution.球面方程为x2+y2+z2=42 所考察立体Ω在xo面上的投影区域为: D:x2+y2≤1 ∫h= firdrdedz Q 2兀 16 delre 6 =(64-15√15) 3 K心
ex5. 穿过半径为4厘米的铜球的中心，钻一个半径为 1厘米的圆孔，问损失掉的铜的体积.(铜以球直径 为中心对称轴). Solution. o x y z 2 2 2 2 球面方程为 x + y + z = 4 所考察立体在xoy面上的投影区域为: : 1 2 2 D x + y V = dv = rdrddz − − − = 2 2 16 16 1 0 2 0 r r d rdr dz (64 15 15). 3 4 = −
三曲面的面积 1.设曲面方程为z=f(x,y),它在xoy面上的投影区域 为D,且f(x,y)在Dx上具有连续偏导,求曲面面积A. 如图,设小区域do∈D, dA 点(x,y) Σ为S上过M(x,y,f(x,y) (x,y) 的切平面 do 以d边界为准线,母线平行于z轴的小 柱面,截曲面s为ds;截切平面∑为dA, 则有dA≈dls K心
三.曲面的面积 , ( , ) , . 1. ( , ), D f x y D A z f x y xoy 为 x y 且 在 x y上具有连续偏导 求曲面面积 设曲面方程为 = 它在 面上的投影区域 设小区域 d D, 点(x, y) d , . ( , , ( , )) 的切平面 为 S 上过 M x y f x y dA ds. s ds dA d z 则有 柱面，截曲面 为 ；截切平面 为 ， 以 边界为准线，母线平行于 轴的小 如图， d (x, y) M dA x y z s o